La simplification d’expressions

La période achève, et le questionnement demeure vif. Les élèves portent aussi attention aux autres réponses offertes précédemment, mais l’ajout des 25% continue d’intriguer. La cloche sonne…

Que tirer de tout ceci ?

Une première réaction face à cette idée d’ajout de 25%  est de se dire que Marco ne comprend pas beaucoup la tâche donnée et qu’il fait un peu n’importe quoi. C’est en effet ce que certains élèves semblent vouloir exprimer lorsque Marco explique sa stratégie. En même temps, la tâche proposée est inhabituelle et est difficile (elle leur a même été annoncée ainsi). C’est peut-être un peu normal de recevoir des réponses « surprenantes » de la sorte. Mais que tente de faire Marco?

En reliant le « +25% » avec le fait que la tâche est inhabituelle et comporte son lot de défis, une façon de comprendre l’idée de Marco est qu’il a tenté de rendre la tâche plus accessible, plus facile à résoudre. C’est ici que son idée de « simplifier  » entre en ligne de compte. En voulant simplifier l’expression, l’idée d’ajouter 25% semble raisonnable, car \( \frac{50\%}{100\%} \) est plus facile à évaluer que \( \frac{25\%}{75\%} \). Et c’est probablement ce que Marco affirme quand il dit: « Là, je l’ai simplifiée !».

Le problème que nous voyons avec la stratégie de Marco est que l’ajout de 25% à chacun des pourcentages a transformé l’expression \( \frac{25\%}{75\%} \) au point d’en perdre l’équivalence avec la nouvelle expression obtenue: \( \frac{25\%}{75\%} \) ≠ \( \frac{50\%}{100\%} \). C’est ce que certains élèves soulignent. En effet, bien que \( \frac{50\%}{100\%} \) soit peut-être plus facilement manipulable  ou calculable, sa valeur n’est malheureusement pas équivalente à celle de l’expression initiale. La stratégie de Marco ne réussit pas. Elle réussit par contre sur autre chose, en même temps.

Une chose importante qui ressort des explications de Marco est justement quelque chose qu’il n’a pas dit : jamais Marco n’a affirmé explicitement que \( \frac{25\%}{75\%} \) et \( \frac{50\%}{100\%} \) représentent des expressions équivalentes. Sur la base de ce qu’il répond aux autres élèves, et à mes questions, ce n’est pas clair qu’il considère ces deux expressions équivalentes. En fait, son objectif semble tout autre, soit de chercher une façon de simplifier la tâche. Et sur ce point, il est impossible de le prendre en défaut : Marco a bel et bien rendu la tâche plus simple ! De notre côté, nous y voyons peut-être un problème, car l’équivalence entre les deux expressions n’est pas conservée, mais ce n’est pas ce que Marco semble vouloir faire avec son ajout de 25%. En ce sens, il n’a pas tort de dire que les calculs en sont simplifiés, bien qu’il en ait toutefois perdu l’équivalence. C’est une bonne idée, mais elle ne nous aide peut-être pas beaucoup à trouver la valeur de l’expression.

Mais il y a plus !

Même si la stratégie de Marco ne nous aide pas à trouver la valeur de \( \frac{25\%}{75\%} \), elle met en évidence un deuxième élément très important qui mérite notre attention. Ce qui frappe est que Marco réutilise presque mot pour mot ce qui est habituellement prononcé pour justifier l’importance de devoir simplifier des expressions (par exemple des fractions, des expressions algébriques) : si tu veux faire des calculs, il est important de (savoir) simplifier pour faciliter ton travail ! Il est en effet plus complexe de travailler avec \( \frac{27}{63} \) que \( \frac{3}{7} \), et transformer l’équation \( 3x^2 + 7xy \; – \; 6x^2 + 3xy  +\;-\; 6 = 9 \) en une version plus compacte peut grandement nous simplifier la vie!¹

Le fait que Marco réutilise presque textuellement les justifications habituelles pour expliquer l’importance de la simplification d’expressions est très parlant, car cela met en évidence certains éléments que nous gardons possiblement cachés, sûrement sans nous en rendre compte. Et c’est ici que Marco, un peu sans le savoir, nous fait la leçon : il nous rappelle que l’idée de conserver l’équivalence des expressions est un des aspects les plus fondamentaux de la simplification d’expressions ! Cette idée est devenue tellement évidente pour nous que nous la tenons probablement pour acquise et la laissons implicite dans notre discours. Pourtant, l’équivalence est au cœur pour nous tous du concept même de simplification d’expressions !

Et c’est un peu ce que Marco nous souligne. Sa stratégie pointe sur la pertinence de mettre au premier plan cette idée d’équivalence lors du travail de simplification d’expressions, et ce, pour éviter que « simplification » et « équivalence » en deviennent des concepts dissociés. Par sa stratégie surprenante d’ajout de 25%, Marco nous rappelle que de rendre plus simple une expression n’est pas en soi suffisant pour en évaluer la valeur, et qu’il est primordial de s’assurer de rendre explicite l’équivalence de ces mêmes expressions lors de leur simplification.

Et cela, c’est toute une leçon ! Merci Marco !