Résolution d’un
problème algébrique :
ce que nous communiquent les élèves…
- 10 minutes de lecture
Philippe Labrosse
Ph.D., Sciences de l’éducation
Option didactique des mathématiques
Mireille Saoya
Ph.D., Professeure au département de mathématiques
Université du Québec à Montréal
Introduction
Dans une récente recherche (Labrosse, 2020) où nous avons notamment exploité des problèmes avec des élèves de 2e secondaire au début de l’enseignement sur l’algèbre, nous avons conçu une séquence de problèmes pour amener les élèves à déployer un argumentaire lors de leur résolution. Nous visions ainsi à donner à une enseignante un accès renouvelé aux raisonnements de ses élèves, lui offrant un matériau qu’il lui a été possible d’exploiter en classe.
Lors de l’analyse des productions des élèves autour d’un de ces problèmes, nous avons été interpellés par certaines résolutions d’élèves. Nous souhaitons vous partager nos découvertes.
Notre texte se scinde en deux parties. Dans ce numéro, nous souhaitons vous exposer le problème soumis pour que vous ayez le temps d’y réfléchir, de le résoudre comme expert, d’anticiper les différentes stratégies que vos élèves pourraient mettre en œuvre pour le résoudre, en plus de prédire les possibles difficultés rencontrées par ces derniers. Dans un prochain numéro de la revue, nous vous exposerons certains constats faits à la lumière des copies que nous avons analysées.
Problème du déménagement
Pour la passation du problème en classe, nous avions conçu un dispositif en trois temps1 où les élèves devaient d’abord résoudre le problème individuellement. Ensuite, la copie fictive d’un élève était distribuée pour qu’ils l’analysent en prenant le rôle d’un enseignant. Finalement, dans une troisième partie, les élèves étaient placés en dyades afin de mettre en commun leurs résolutions du problème, et l’analyse de la copie de l’élève fictif faite individuellement. À la suite de leurs échanges, il leur a été demandé de produire une solution commune au problème. Le problème qui fait l’objet de ce texte a été adapté du manuel scolaire À vos maths ! afin de donner la parole aux élèves en leur attribuant la position d’enseignant qui porte un regard sur la production d’un élève fictif.Partie 1 : Résolution individuelle
Le déménagement (inspiré de Coupal, 2006)
Valérie et Éric déménagent. Lors du grand jour, leurs familles se chargeront de transporter les boîtes. La voiture de tante Marie peut contenir trois fois moins de boites que le camion de l’oncle Richard, mais Marie décide de déménager une boite de plus en l’attachant sur le toit de sa voiture pour que ça aille plus vite.
En fin d’après-midi, il reste encore 25 boîtes dans l’appartement, malgré les 8 allers-retours de la voiture et les 7 allers-retours du camion.
Combien de boîtes peut contenir le camion de l’oncle Richard, si, au total, Valérie et Éric avaient 352 boîtes à déménager ?
Dans ce problème, différentes grandeurs sont sollicitées : le nombre total de boîtes à déménager, le nombre de boîtes que chaque véhicule peut transporter, le nombre d’allers-retours des véhicules et le nombre de boîtes restantes à la fin de la journée2. Chaque véhicule transporte un même nombre de boîtes à chaque aller qui n’est pas le même pour la voiture et pour le camion. Ces nombres sont exprimés par une relation de comparaison « la voiture de tante Marie peut contenir trois fois moins de boites que le camion de l’oncle Richard » et on ne connait aucun de ces deux nombres. Des grandeurs non homogènes sont présentes dans le problème : huit allers-retours pour la voiture et sept allers-retours pour le camion. De plus, il ne faut pas oublier la boîte supplémentaire transportée sur le toit de la voiture. Constatons aussi que l’on infère que les boîtes sont équivalentes en taille, ce qui n’est pas toujours le cas dans la réalité. Pour la mise en équation, il faut gérer les grandeurs non homogènes ainsi que les contraintes pour les mettre en relation comme suit :
Finalement, la question est de trouver le nombre de boîtes que peut contenir le camion de Richard. Ainsi, c’est le nombre de boîtes d’un seul véhicule que l’élève doit fournir comme réponse.
Partie 2 : Annotations et analyse de la copie fictive d’un élève
Une fois que l’élève a résolu pour lui-même le problème, la production d’un élève fictif, Renaud, lui est remise à des fins d’analyse (figure 1).
Figure 1 – production de l’élève fictif Renaud
Cette résolution fictive a été rédigée afin d’ouvrir à divers éléments sur lesquels les élèves peuvent réagir, mais aussi pour susciter l’engagement de l’élève-résolveur dans sa propre résolution. Ainsi, Renaud choisit comme inconnue « x » pour « Marie ». L’inconnue est nommée par le nom de la personne au lieu de préciser que « x » est le nombre de boîtes que peut contenir la voiture de Marie, sans compter celle du toit. Renaud fait le même type d’identification pour le nombre de boîtes que peut contenir le camion de Richard. De plus, il écrit le signe d’égalité lors de l’identification des inconnues au lieu des deux points. Par ailleurs, dans la production de Renaud, la relation multiplicative est bien menée lors de l’identification du nombre de boîtes que peut transporter le camion de Richard à chaque aller. En ce qui a trait à la mise en équation, celle-ci est correcte, mais plusieurs étapes et opérations sont implicites.
En effet, pour trouver le nombre total de boîtes transportées par la voiture de Marie, on multiplie par 8 qui représente le nombre d’allers-retours. Le nombre de boîtes que peut transporter la voiture de Marie est exprimé par l’expression (x+1), x étant le nombre de boîtes contenues dans la voiture, auquel on ajoute la boîte transportée sur le toit. On obtient donc 8(x+1). Renaud procède directement à la distributivité et écrit l’expression 8x + 8. De plus, pour le nombre total de boîtes transportées par le camion, Renaud écrit 21x, ce qui correspond à 7 fois 3x, 7 étant le nombre d’allers-retours faits par le camion et 3x le nombre de boîtes transportées par le camion à chaque aller-retour.
Le nombre total de boîtes transportées par les deux véhicules après ces allers-retours (8 pour la voiture et 7 pour le camion) est de 327 : le nombre total de boîtes à transporter (352) moins les boîtes qu’il reste encore à transporter (25). Renaud écrit directement 327 et ne rend pas apparent le calcul « 352-25 ». De plus, on ne note aucune trace des manipulations syntaxiques réalisées par Renaud. Finalement, le résultat trouvé (11) correspond au nombre de boîtes que peut contenir la voiture de Marie. On constate ici que Renaud ne revient pas au problème et à l’identification des inconnues pour trouver la réponse adéquate qui est 33 (le nombre de boîtes contenues dans le camion).
Dans la deuxième partie du problème, on place l’élève en position « d’enseignant », et ce, implicitement. En effet, la présentation de la résolution de Renaud est suivie du texte suivant :
L’enseignant de Renaud est plutôt déçu de sa solution. Il y trouve plusieurs bons éléments, mais considère que Renaud n’a pas assez développé son raisonnement. Il donne à Renaud la note de 4/10 pour sa solution. Et toi ? Que penses-tu de la solution de Renaud ?
Analyse la solution de Renaud : repère les erreurs, les oublis, les précisions qu’il aurait dû faire, les calculs manquants, etc.
Explique bien à Renaud chacun des éléments qu’il aurait dû ajouter pour obtenir un résultat de 10/10.
Partie 3 : Mise en commun d’annotations et des analyses individuelles
Enfin, on invite des dyades d’élèves à mettre en commun ce qu’ils ont produit. Dans leurs interactions pour commenter la production de Renaud, les coéquipiers doivent interagir pour produire une solution écrite. À cet égard, les élèves entrent dans une phase de formulation pour s’expliquer les éléments qu’ils dégagent du problème et commentent la résolution de Renaud. Puisque la solution de Renaud est centrée sur un discours algébrique, les coéquipiers formuleront probablement des constats à l’égard des connaissances algébriques (mise en équation, opérations algébriques en jeu, etc.) mobilisées par Renaud.À vous de jouer !
Nous avons soumis ce problème à 44 élèves de 2e secondaire (13-14 ans) d’une école de Montréal. Ces élèves provenaient de deux classes d’une même enseignante qui a participé à l’étude. Ce problème a été réalisé par les élèves à la fin de l’enseignement du module sur l’algèbre. Au niveau de la séquence de passation du problème en classe, les étapes suivantes ont été suivies :- L’enseignante présente le problème : précise le temps et les modalités de travail.
- Les élèves réalisent le problème individuellement (20 minutes pour les parties 1 et 2) et en dyades (10 minutes) en laissant des traces écrites de leurs résolutions.
- Pendant la réalisation du problème, l’enseignante interagit avec les élèves (répond aux questions, rappelle à l’ordre certains élèves, etc.).
- Après avoir pris connaissance des écrits des élèves, l’enseignante fait un retour avec le groupe-classe sur le problème lors du cours suivant.
[1] Des feuilles de différentes couleurs pour chacune des parties ont été remises aux élèves pour repérer facilement le travail fait et permettre une analyse plus fine suite à l’activité en classe.
[2] Nous verrons dans les prochaines lignes que c’est le discours algébrique qui est mis en évidence dans le problème. Nous sommes conscients que certains problèmes algébriques peuvent se résoudre sans avoir recours à la méthode algébrique explicite, mais c’est cette méthode qui a été choisie pour faire parler les élèves au travers la production fictive.
Références
Coupal, M. (2006). À vos maths. Vol. C. Éditions Graphicor.Articles dans ce numéro
Mot de la Directrice
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