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Enseigner la factorisation algébrique :

Une approche visuelle et collaborative avec les tuiles et le « thin slicing »

  • 11 minutes de lecture
Picture of Jean-Pierre Marcoux

Jean-Pierre Marcoux

Tout enseignant désire la réussite de ses élèves. Cependant, il convient de rester vigilant : la réussite ne reflète pas toujours une réelle compréhension, tandis que la compréhension profonde conduit invariablement à la réussite. Je suis entièrement d’accord avec Richard Skemp, qui recommande une compréhension axée sur les relations, c’est-à-dire de comprendre non seulement quoi faire, mais aussi pourquoi, en identifiant les connexions conceptuelles profondes, plutôt que de se limiter à une compréhension instrumentale superficielle, qui se contente d’appliquer des règles sans en saisir la logique sous-jacente.

Au début de ma carrière, lors de mon passage au programme PROTIC, en pleine période de renouveau pédagogique, j’ai réalisé à quel point une compréhension conceptuelle s’ancre durablement et résiste à l’épreuve du temps, particulièrement dans la résolution de problèmes. C’est précisément pour cette raison que l’approche de la classe collabo-réflexive de Peter Liljedahl résonne si fortement en moi.  Elle nous permet enfin d’articuler plus efficacement cette vision de l’apprentissage en salle de classe.

Je vous propose donc une séquence d’activités de type « thin slicing » qui couvre l’ensemble de la factorisation.

Tout d’abord, je tiens à souligner qu’avec mes élèves de 3ᵉ secondaire, j’utilise systématiquement la technique des tuiles algébriques pour aborder la multiplication de polynômes et, particulièrement, le carré d’un binôme. J’adore cette méthode, qui m’a été présentée par Jocelyn Nicol il y a près d’une vingtaine d’années, et, depuis, je ne jure que par celle-ci. Visuelle et intuitive, elle permet de mieux comprendre pourquoi (a2  + b)2 ≠  a2 + b2

En fait, c’est mon collègue de 4ᵉ secondaire qui m’a convaincu de son efficacité en me confiant que mes anciens élèves, familiers avec les tuiles, surpassent ceux qui se contentent de la méthode des flèches (figure 1). Trop souvent, j’ai observé des élèves tracer des flèches sans effectuer les calculs sous-jacents. Avant d’adopter les tuiles, malgré le fait que je veillais à procéder une flèche à la fois en réalisant le calcul simultanément pour inscrire le terme résultant, je voyais régulièrement les élèves, dans leurs exercices ou examens, tracer toutes les flèches d’abord avant de s’atteler aux calculs. Votre expérience vous a sans doute montré des cas similaires : calculs manquants ou erreurs de calcul.

  

Figure 1 Multiplication de binômes avec la méthode des flèches
 
Ainsi, de nombreux élèves tracent les flèches en pensant que c’est cela qui est évalué, et non comme un soutien à leur procédure. Ils agissent par imitation ou pour nous complaire, sans percevoir l’utilité que nous y attachons.
Puisque tous mes élèves ne m’ont pas eu comme enseignant en 3ᵉ secondaire et que certains préfèrent encore les flèches, je reprends toujours les bases des tuiles algébriques. Dans mon premier cours sur la factorisation, je lance une activité pour revisiter le produit de binômes à l’aide des tuiles. Je forme les équipes de manière aléatoire et visible. Je leur fournis trois ou quatre exemples de produits de binômes. Ensuite, je leur présente un trinôme de la forme x2 + 5x + 6 = ( ) ( ) et leur pose la question : « Qu’est-ce qui a pu donner ce polynôme ? » Leur créativité est toujours impressionnante, et ils parviennent à déterminer les facteurs (x + 2)(x + 3) grâce aux tuiles algébriques, sans avoir appris quoi que ce soit sur la factorisation de polynômes. Pour le suivant, nous introduisons une petite variation du coefficient du terme en x, par exemple x2 + 7x + 6, puis j’enchaîne sur une série d’expressions à factoriser, comme x2 – 8x + 7.
Ce qui me fascine le plus dans cette approche, c’est qu’elle permet aux élèves de découvrir par eux-mêmes le mécanisme de la factorisation, tout en approfondissant leur compréhension du produit. Ce changement de paradigme transforme le temps habituellement consacré à l’explication théorique et aux exemples modélisés en un temps consacré à des exercices autonomes et à la recherche de sens.
Auparavant, certains prenaient des notes par habitude, sans vraiment saisir le « pourquoi » ni comprendre la nécessité avant d’aborder les exercices. Ils tentaient ensuite les exercices en s’appuyant sur des notes souvent incomplètes ou inexactes, n’en complétant que trois ou quatre avant la fin du cours, pour finir le reste à la maison.
Avec le « thin slicing » (le découpage en fines tranches), ils résolvent environ une douzaine d’exercices en classe, en s’appuyant sur leur propre procédure. Ils bénéficient d’une rétroaction rapide. Lors de la consolidation finale, ce sont eux qui pilotent la prise de notes : fiers de leur découverte, ils consignent ce qui fait désormais sens pour eux. Évidemment, je leur propose ensuite d’autres exemples pour vérifier leur compréhension, non comme un devoir, mais comme une validation de leur apprentissage, selon leur besoin de se rassurer.
Le cours suivant, je reviens sur un exemple de la veille, x2 – 5x + 6, pour m’assurer que tous sont au même niveau. Au début de l’année, certains ont besoin de plus de temps pour retrouver le rythme scolaire ; il y a toujours des élèves un peu en retard. Je fais comme si de rien n’était. Lors du rassemblement initial, je les invite à discuter avec leur voisin en posant la question : « Comment factoriseriez-vous cela ? » J’agis alors comme un scribe : collectivement, ils me dictent comment résoudre cet exemple, et j’écris ce qu’ils me disent.
Une fois le rappel effectué, je les répartis en de nouvelles équipes aléatoires et visibles, afin que les apprentissages du cours précédent circulent au sein de la classe. Après un seul exemple similaire à celui du cours précédent, j’introduis des cas avec un coefficient a ≠ 1. Grâce aux tuiles, ils s’en sortent brillamment par eux-mêmes. Je les laisse travailler, réservant les 15-20 dernières minutes à la consolidation.
Les cas particuliers : trinôme carré parfait et différence de carrés
Mon troisième cours porte sur les « cas particuliers » du trinôme carré parfait et de la différence de carrés. Mais avec les tuiles, ces cas ne sont plus si particuliers ! La factorisation apparaît comme un processus unifié, sans cloisonnement artificiel en différents cas, tels que : la mise en évidence simple et double, le modèle x2 – Sx + P, le carré parfait, la différence de carrés, et le trinôme ax2 + bx + c par formule quadratique. Lors de la consolidation, les élèves repèrent d’eux-mêmes la forme du trinôme carré parfait (figure 2) : il est formé de deux carrés parfaits (bleus) et de deux rectangles identiques (verts). Cette visualisation soutient le sens du concept de multiplication et de ses facteurs. C’est très différent de ce que j’ai déjà entendu, comme « pour factoriser un trinôme carré parfait, tu prends la racine carrée du premier terme, le signe du deuxième terme et la racine du troisième ».

Figure 2 Tuiles algébriques et trinôme carré parfait

Pour la différence de carrés (figure 3), ce sont aussi deux rectangles identiques, mais de signes opposés (rouge/vert). C’est ce qui explique l’absence d’un terme linéaire. De plus, le visuel révèle que ces rectangles sont formés des côtés des deux carrés, d’où le produit des racines et la factorisation (A + B)(A – B).

Figure 3 Tuiles algébriques et différence de carrés

Une fois les élèves à l’aise avec la factorisation, je les amène à résoudre des équations quadratiques grâce à celle-ci. Lors du lancement, je leur demande de me donner deux nombres, voire trois, dont le produit est égal à 0. Je propose aussi des expressions du genre 2x + 6 = 12. Ensuite, comme à l’habitude, je forme les équipes et leur propose la séquence où ils résolvent des quadratiques égales à 0. Le cours suivant marque une pause avec un « mini-test » pour évaluer leur maîtrise individuelle de la factorisation, avant d’aborder les expressions rationnelles algébriques. Même si le mini-test n’est pas concluant pour certains, nous avançons : la factorisation est essentielle, car elle permet de simplifier les problèmes avant d’appliquer les quatre opérations sur ces expressions rationnelles, tout en considérant les restrictions. D’où la nécessité de traiter la résolution en amont. La lecture du récent ouvrage de Peter m’a cependant amené à repenser le découpage. J’avais peut-être fragmenté la matière de façon trop fine. Je propose d’intégrer, dès la première période, le passage au coefficient dans le type 3. La période suivante serait alors consacrée aux cas particuliers : le carré parfait (type 1), la différence de carrés (type 2) et une version plus avancée du troisième type (double différence de carrés). Cette modification permettrait de condenser les activités de factorisation sur deux périodes au lieu de trois, offrant ainsi un gain de temps précieux. Comme on dit, rien n’est parfait du premier coup, l’important est de savoir ajuster nos pratiques !  Pour l’étude des expressions rationnelles, j’opte pour cet ordre : Cet ordre me semble plus accessible pour les élèves. Je consacre un cinquième cours à la consolidation de leurs apprentissages avec divers exemples. À leur arrivée en classe, j’ai déjà inscrit une des quatre opérations sur les expressions rationnelles sur différents tableaux (simplification, produit, division, addition, soustraction, et je recommence le cycle). Si une équipe termine avant les autres, je lui propose un autre du même type. Une fois que tous ont fini, je fais une rotation des équipes : ils se déplacent tous d’un tableau. Ils ont ainsi de nouveaux problèmes devant eux et peuvent les corriger ou les discuter dès qu’ils le souhaitent.
Conclusion
Cette séquence, solidement ancrée dans l’utilisation des tuiles algébriques, métamorphose l’enseignement de la factorisation : d’une suite de recettes mécaniques, elle devient une véritable exploration joyeuse menant à une compréhension profonde et durable. Les tuiles ne sont pas un gadget : elles incarnent un processus unifié de factorisation, où les « cas particuliers » (carré parfait, différence de carrés, etc.) émergent naturellement comme des manifestations visuelles d’un même principe. Fini le cloisonnement artificiel ; place à une vision cohérente et sensée de l’algèbre. En plaçant les élèves au centre de la découverte grâce au concept tranché finement « thin slicing », on favorise non seulement l’autonomie intellectuelle, mais aussi le plaisir d’apprendre et la confiance en soi. Cette approche transforme le temps de classe : il y a moins d’explications descendantes, mais il y plus de recherche active, de discussions riches et de fierté partagée lors des consolidations. Les élèves ne « font » plus de la factorisation… ils la comprennent, ils la voient, ils la possèdent. Pour explorer d’autres activités inspirées de la classe collaborative-réflexive (Building Thinking Classroom) et partager vos propres variantes, je vous invite chaleureusement à visiter le site du GRMS : https://www.grms.qc.ca/btc-activite. C’est là que la communauté continue d’enrichir et de faire vivre ces pratiques. 
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