Bouteille probabiliste

Déborah a précisé qu’il est vraiment pertinent de réaliser des essais concrètement avant d’utiliser le simulateur. Brian a abondé dans ce sens, en mentionnant que les élèves vont davantage croire les résultats obtenus par le simulateur s’ils ont d’abord réalisé des essais avec de vraies bouteilles. Lors de la réalisation des essais, j’ai fait remarquer qu’il y avait plusieurs façons de noter les résultats et de se questionner sur l’importance (ou non) de l’ordre dans cette situation.

J’ai ensuite montré les bouteilles 3 et 4 du simulateur, où on ne connaît pas le nombre total de billes. Brian a affirmé avec raison qu’on ne connaîtra jamais le contenu exact de la bouteille, alors on doit fonctionner en termes de rapport. En fait, dans la bouteille 3, après avoir simulé 1 000 essais, nous avions obtenu 492 billes rouges et 508 billes noires. À partir de ces résultats, j’ai admis qu’on pourrait conclure qu’il y a une bille de chaque couleur, ou bien deux de chaque couleur… mais qu’il pourrait aussi y avoir 492 billes rouges et 508 billes noires. Alan a rétorqué qu’autant de billes ne peuvent pas entrer dans la bouteille. Mais comme il s’agit d’une bouteille virtuelle, une telle contrainte d’espace ne s’applique pas au simulateur. Pour une bouteille concrète (même de grande taille), cette contrainte serait pourtant bien réelle et Alan a précisé qu’une bouteille pleine ne permettrait pas à chaque bille d’être pigée puisque les billes ne pourraient pas circuler librement dans la bouteille.

Avec le simulateur, j’ai ensuite créé une nouvelle bouteille (Figure 3) en choisissant un contenu extrême, soit 3 billes rouges et 9 997 billes noires (ce qu’on pourrait difficilement faire concrètement). En réalisant des séries de 100 essais dans cette bouteille extrême, nous avons obtenu la première bille rouge après 5000 essais. Après 10 000 essais, nous en avions obtenu 3, conformément au contenu de la bouteille.

Figure 3. Résultats de 10 000 tirages avec une nouvelle bouteille

J’ai fait remarquer que les résultats vont varier, en raison de la variabilité échantillonnale, mais qu’on devrait habituellement avoir 1, 2, 3, 4 ou 5 billes rouges sur 10 000… mais pas 60 ! Brian a alors demandé si on pouvait en être certain et si la probabilité d’avoir 60 billes rouges était bel et bien nulle. Dans ces conditions, il n’est pas impossible d’obtenir 60 billes rouges après 10 000 essais, mais la probabilité de cet événement est excessivement faible. Brian a même affirmé qu’il pourrait passer sa vie à simuler des essais avec une telle bouteille et qu’il n’obtiendrait jamais 60 billes rouges en 10 000 essais dû à la rareté de cet événement. Déborah a ensuite demandé quelle question serait pertinente à poser avec la nouvelle bouteille du simulateur. La réponse à cette question n’était pas évidente pour les participant·es, car on veut que la pensée probabiliste soit mobilisée et on ne veut pas faire de cette situation un simple exercice de fractions équivalentes ou d’algèbre. Cela a amené Florence à s’interroger sur l’intention de cette fonctionnalité du simulateur. Grace était d’avis que ce simulateur serait efficace pour aider les élèves de deuxième secondaire à distinguer la probabilité théorique de la « probabilité fréquentielle » (expression utilisée dans des ressources québécoises, mais qui porte à confusion considérant que la probabilité est théorique en soi et que ce sont les fréquences qui sont empiriques, dans l’approche fréquentielle).

Dans un autre ordre d’idées, Alan a mentionné qu’au jeu de la roulette au casino, certaines personnes misent sur une douzaine si elle n’est pas sortie plusieurs fois d’affilée. En tant que chercheur-formateur, j’en ai profité pour parler de la conception de dépendance : dans un contexte du lancer d’une pièce de monnaie, même si on obtient pile 8 fois d’affilée, la pièce de monnaie n’a pas de mémoire… et donc chaque essai est indépendant des autres. Alan a rétorqué en affirmant que certaines personnes misent de cette façon, avec l’idée que la tendance va se rééquilibrer.

Dans la poursuite de cette discussion, Grace a amené le sujet des combinaisons à la Lotto 6/49. Christian a affirmé qu’il valait mieux ne pas prendre 1-2-3-4-5-6 au cas où cette combinaison sortirait, étant donné que le gros lot devrait alors être réparti parmi tous ceux qui l’ont choisie. En effet, j’ai ajouté que cette combinaison est habituellement celle choisie par des milliers de joueurs à chaque tirage de Lotto 6/49, car ils ne savent pas quoi prendre. Cette préférence de certains numéros pour former des combinaisons a d’ailleurs été analysée dans la revue Accromath (Delahaye, 2024). Grace était étonnée, car elle pensait que les gens seraient moins tentés à choisir la combinaison 1-2-3-4-5-6 étant donné qu’elle semble moins aléatoire. En fait, il s’agit de la conception de représentativité, où les personnes qui manifestent cette conception ont tendance à attribuer une probabilité plus

faible à un événement qui ne semble pas représentatif de ce que l’on obtient généralement. La combinaison 1-2-3-4- 5-6 peut sembler moins représentative des combinaisons tirées habituellement dans cette loterie, où les personnes qui manifestent la conception de représentativité peuvent croire (à tort) que la probabilité de l’obtenir est plus faible que pour une autre combinaison qui semble plus aléatoire (sans séquence logique). Alan en est donc arrivé à la conclusion qu’on devrait éviter de prendre cette combinaison à la Lotto 6/49. J’ai alors ajouté qu’il a raison, car la somme gagnée par un joueur sera moins importante s’il doit partager le gros lot avec un grand nombre d’autres personnes gagnantes (ce qui est confirmé par Delahaye, 2024)… et non pas parce que la probabilité d’obtenir la combinaison 1-2-3-4-5-6 serait plus faible que la probabilité d’autres combinaisons, ce qui n’est pas le cas. En effet, toutes les combinaisons de la Lotto 6/49 sont équiprobables, avec une probabilité de 1 ÷ 13 983 816, c’est-à-dire près 1 sur 14 millions (comme l’ont si bien dit les Cowboys Fringants dans une de leur chanson).

Réflexion sur les approches fréquentielle et théorique

Pour relancer les échanges, j’ai fait remarquer que les discussions précédentes autour de la situation de la bouteille probabiliste amènent à se demander ce que c’est de faire des probabilités. Aussi, j’ai demandé si cette situation devait être considérée de nature probabiliste ou statistique puisqu’elle ressemble à la démarche d’enquête statistique, soit de faire une hypothèse, de recueillir des données, de les organiser et de les interpréter pour répondre à la question. Selon Florence, tout est relié en mathématiques et cette situation aborde à la fois les probabilités et la statistique. Grace a précisé que la statistique montre une tendance du passé alors que c’est le futur pour les probabilités. En effet, lorsque l’on adopte une approche fréquentielle, on regarde les résultats du passé (statistiques) pour inférer le futur (probabilités). Cette inférence permet de connecter les probabilités et la statistique, dont l’articulation semble importante pour le développement conjoint des pensées probabiliste et statistique.

J’ai ensuite demandé si la priorité est accordée pour une approche probabiliste plutôt qu’une autre dans leur enseignement. Selon Grace, l’approche théorique prend plus de place actuellement dans les classes de mathématiques, ce qui concorde avec les résultats de l’enquête de Martin et al. (2021), où les personnes répondantes qui enseignent au secondaire (n = 388) ont dit recourir davantage à l’approche théorique qu’à l’approche fréquentielle, alors que c’est l’inverse au primaire (n = 237). Il est à noter que les enseignant·es ont peu (ou pas) été formés à l’enseignement des probabilités, particulièrement dans l’approche fréquentielle. Selon Déborah, l’enseignement des probabilités est généralement trop théorique et il est important de faire le lien avec ce qui est expérimental, par l’approche fréquentielle. Christian a ajouté que, s’il y a bien une partie des concepts et processus mathématiques qui peut être ludique pour les élèves, c’est en probabilités. Le recours à l’approche subjective en articulation avec les deux autres approches probabilistes permettrait aussi d’amener l’élève à émettre des prédictions, puis à les mettre à l’épreuve pour prendre des décisions éclairées.

Par la suite, Florence a mentionné humblement qu’elle n’a jamais été à l’aise en probabilités et qu’il s’agit de la seule section des mathématiques où elle se sent moins outillée, contrairement à l’algèbre par exemple. Ceci concorde avec les résultats de l’enquête de Martin et al. (2021), où les personnes répondantes qui enseignent les mathématiques au secondaire (n = 388) ont rapporté avoir un niveau d’aisance mathématique (comprendre les mathématiques pour soi) ainsi que de confiance didactique (enseigner les mathématiques aux élèves) significativement plus faible en probabilités par rapport aux autres domaines mathématiques. Déborah a dit qu’elle se sentait elle aussi démunie pour enseigner les probabilités, mais qu’une situation comme celle de la bouteille probabiliste peut l’aider. D’ailleurs, elle avait déjà entendu parler auparavant de cette situation, mais en ayant l’opportunité de l’expérimenter avec les bouteilles et avec le simulateur, elle a affirmé qu’elle pourra dorénavant aisément animer une période avec ses élèves à ce sujet. Selon elle, tant qu’elle n’a pas vécu une situation, c’est difficile de l’intégrer dans sa pratique. Florence a ajouté que c’est du temps à investir pour s’approprier de nouvelles situations, ce qui est souvent ce qui manque en enseignement, alors une occasion d’expérimenter une situation pourrait aider des personnes enseignantes à se sentir mieux outillées pour enseigner les probabilités. Déborah a conclu que cela fait partie d’un processus de changement de pratique et qu’elle a bien l’intention de se lancer dans le vide pour enseigner les probabilités avec cette situation.

C’est d’ailleurs ce que Déborah a fait dans les rencontres suivantes, en développant une séquence d’enseignement des probabilités en deuxième secondaire dans laquelle elle a intégré la situation de la bouteille probabiliste. Certains de ses élèves ont d’abord simulé 2 ou 3 fois des échantillons de 5 essais et étaient prêts à s’arrêter s’ils obtenaient le même résultat. Si les résultats des échantillons étaient différents, ils simulaient un peu plus d’essais. Déborah les a questionnés sur le nombre d’essais nécessaires, ce qui a incité les élèves à en réaliser plusieurs. Le simulateur de la bouteille a ensuite permis de réaliser un très grand nombre d’essais et les élèves ont compris qu’un grand nombre d’essais est important pour avoir une tendance fiable. Après cette activité d’introduction, Déborah voulait aller plus loin, car elle n’avait pas l’impression d’exploiter suffisamment les concepts probabilistes de deuxième secondaire. Elle a alors demandé à ses élèves de faire deux observations, en sachant qu’on a au moins une bille rouge et une bille noire dans chaque bouteille, pour se questionner sur ce qui pourrait être des événements possibles, soit RR, RN, NR, NN. Les élèves ont noté 20-30 fois les 2 essais, puis ils ont remarqué que RR était le résultat le plus fréquent et NN arrivait le moins souvent. Pourtant, quand Déborah leur avait demandé initialement la probabilité d’avoir RR sachant qu’il y a 4 possibilités, les élèves répondaient 1/4. Certains disaient aussi 1/5, car ils croyaient avoir 1 bille noire et 4 billes rouges dans leur bouteille. Puisqu’il n’y a pas de simulateur pour cette deuxième partie de l’activité, Déborah leur a proposé d’aller inscrire leurs résultats dans un tableur collaboratif, afin de compiler facilement les résultats. Lorsqu’est venu le temps de calculer les probabilités théoriques dans une autre activité, un groupe d’élèves a eu des résultats qui étaient très près de la probabilité théorique. Déborah était étonnée de voir que les élèves avaient mieux compris les concepts, comparativement à ceux des années précédentes. Dans l’intention de concevoir des diagrammes en arbre et de calculer des probabilités dans une situation d’un tirage (avec/ sans remise) de billes, les élèves ont utilisé un outil dynamique de diagramme en arbre sur GeoGebra (http://monurl.ca/ simulateur5) pour avancer à leur rythme et se corriger, donc dans un rôle de consolidation. Par exemple, ce diagramme en arbre permet de représenter le tirage sans remise de 2 billes d’un sac contenant 2 billes vertes, 3 billes bleues et 4 billes rouges, puis de faire ressortir les cas où on obtient au moins une bille rouge (Figure 4).

Figure 4. Diagramme en arbre dynamique sur Geogebra

Conclusion

Lors de la séance de formation, les participant·es ont expérimenté puis analysé la situation de la bouteille probabiliste, engendrant des discussions enrichissantes qui font ressortir l’importance de :

• Émettre des prédictions ;
• Expérimenter suffisamment d’essais (en se questionnant sur le nombre d’essais nécessaire) ;
• Regrouper les résultats pour que la tendance soit claire ;
• Utiliser du matériel de manipulation et des outils technologiques appropriés (en exerçant un jugement critique) ;
• Se questionner quant aux nouvelles questions que l’on peut se poser avec l’apport des outils technologiques, selon l’intention visée ;
• Être sensible aux conceptions probabilistes qui peuvent émerger en contexte de jeux de hasard et d’argent chez les élèves (et chez les enseignant·es) ;
• Donner à l’approche fréquentielle l’importance qui lui revient dans l’enseignement, en exploitant son côté ludique.

Il est à noter que d’autres outils technologiques peuvent être utilisés en lien avec la situation de la bouteille probabiliste. Pour l’approche fréquentielle, en plus du simulateur, on peut utiliser un tableur collaboratif (Google Sheets) qui offre des avenues intéressantes pour permettre une compilation interactive d’une grande quantité de données générées de manière collaborative. Pour l’approche théorique, le diagramme en arbre dynamique mentionné précédemment (http://monurl.ca/simulateur5) permet de faire ressortir des évènements composés et leur probabilité pour des tirages de billes sans remise.

En résumé, cette situation probabiliste captivante se révèle être pertinente tant pour la formation que pour l’enseignement au secondaire (ou même au primaire). En fait, elle fait partie du contenu que j’enseigne dans un cours universitaire de didactique des probabilités et de la statistique. J’avais élaboré une capsule vidéo (disponible à l’adresse https://monurl.ca/capsulebouteille, voir les 7 premières minutes) à des fins d’enseignement à distance. Cette capsule vidéo présente les étapes clés ainsi que les verbalisations qui peuvent être adaptées pour piloter une telle situation avec des élèves.

Et vous, seriez-vous prêts à intégrer une telle situation probabiliste dans votre enseignement ?