Du calcul mental
aux plaines d’Abraham
en passant par les camps de concentration nazis
- 9 minutes de lecture
Éric Doddridge
Le but de cet article s’inscrit dans une croyance qui m’habite toujours, même si j’ai quitté l’enseignement il y a maintenant plus de 15 ans : des activités ou notions mathématiques peuvent conduire à discuter de différents sujets, tels que la littérature, la géographie, les arts, la magie, l’histoire, etc.
Dans le présent texte, j’expose certains techniques de calcul mental pour ensuite glisser vers les camps de concentration nazis et les plaines d’Abraham !
La multiplication par 9
Étape 1 Chiffre des unités de la réponse : soustraire le dernier chiffre du multiplicande de 10.
Étape 2 Soustraire les autres chiffres du multiplicande de 9 et ajouter le résultat au voisin de droite et l’éventuelle retenue.
Étape 3 Chiffre de gauche de la réponse : soustraire 1 au premier chiffre du multiplicande et ajouter l’éventuelle retenue.
Exemple 1
1234 × 9 =
- 10 – 4 = 6
- En balayant les chiffres du multiplicande de droite à gauche, les résultats obtenus sont :
(9 – 3) = 6 ; 6 + 4 = 10, soit 0 et l’on retient 1
(9 – 2) = 7 ; 7 + 3 + 1 (la retenue) = 11, soit 1 et l’on retient 1
(9 – 1) = 8 ; 8 + 2 + 1 (la retenue) = 11, soit 1 et l’on retient 1
Après les deux premières étapes, le nombre formé est 1106
- 1 – 1 + 1 (la retenue) = 1 et l’on obtient 11 106, ce qui est la réponse recherchée.
Exemple 2
56 788 × 9 =
- 10 – 8 = 2
- De droite à gauche, les résultats obtenus sont :
(9 – 8) = 1; 1 + 8 = 9
(9 – 7) = 2 ; 2 + 8 = 10, soit 0 et l’on retient 1
(9 – 6) = 3 ; 3 + 7 + 1 (la retenue) = 11, soit 1 et l’on retient 1
(9 – 5) = 4; 4 + 6 + 1 (la retenue) = 11, soit 1 et l’on retient 1
Après les deux premières étapes, le nombre formé est 11 092
- 5 – 1 + 1 (la retenue) = 5 et l’on obtient 511 092, ce qui est la réponse recherchée.
Preuve[1]
Soit N = an ∙10n + an -1 ∙10n-1 +… + a2 ∙102 + a1 ∙10 + a0 9∙N = 9∙(an ∙10n + an -1 ∙10n-1 +… + a2 ∙102 + a1 ∙10 + a0) = 9∙an ∙10n + 9∙an -1 ∙10n-1 +… + 9∙a2 ∙102 + 9∙a1 ∙10 + 9∙a0 Dans le membre de droite de l’équation précédente, on écrit 9 comme étant 10 – 1 = (10 – 1)∙an ∙10n + (10 – 1)∙an -1 ∙10n-1 +… + (10 – 1)∙a2 ∙102 + (10 – 1)∙a1 ∙10 + (10 – 1)∙a0 = 10∙an ∙10n – an ∙10n + 10∙an -1 ∙10n-1 – an -1 ∙10n-1 +… + 10∙a2 ∙102 – a2 ∙102 + 10∙a1 ∙10 – a1 ∙10 + 10∙a0 – a0 = an ∙10n+1 – an ∙10n + an -1 ∙10n – an -1 ∙10n-1 +… + a2 ∙103 – a2 ∙102 + a1 ∙102 – a1 ∙10 + a0 ∙10 – a0 On ajoute l’expression 9 ∙10n – 9 ∙10n + 9 ∙10n-1 – 9 ∙10n-1 +… + 9 ∙102 – 9 ∙102 + 9 ∙10 – 9 ∙10 + 9 – 9 dont la somme vaut 0. L’expression précédente devient donc = an ∙10n+1 + 9 ∙10n – 9 ∙10n – an ∙10n + an -1 ∙10n + 9 ∙10n-1 – 9 ∙10n-1 – an -1 ∙10n-1 +… + a2 ∙103 + 9 ∙102 – 9 ∙102 – a2 ∙102 + a1 ∙102 + 9 ∙10 – 9 ∙10 – a1 ∙10 + a0 ∙10 + 9 – 9 – a0 On regroupe les nombres négatifs que l’on a ajoutés à la fin = an ∙10n+1 + 9 ∙10n – an ∙10n + an -1 ∙10n + 9 ∙10n-1 – an -1 ∙10n-1 +… + a2 ∙103 + 9 ∙102 – a2 ∙102 + a1 ∙102 + 9 ∙10 – a1 ∙10 + a0 ∙10 + 9 – a0 – 9 ∙10n – 9 ∙10n-1 -… – 9 ∙102 – 9 ∙10 – 9 L’expression précédente devient = an ∙10n+1 + (9 – an + an -1) ∙10n + (9 – an -1 + an -2) ∙10n-1 +… + (9 – a2 + a1) ∙102 + (9 – a1 + a0) ∙10 + 9 – a0 – 9 ∙10n – 9 ∙10n-1 -… – 9 ∙102 – 9 ∙10 – 9 = an ∙10n+1 + (9 – an + an -1) ∙10n + (9 – an -1 + an -2) ∙10n-1 +… + (9 – a2 + a1) ∙102 + (9 – a1 + a0) ∙10 + 9 – a0 – (9 ∙10n + 9 ∙10n-1 +… + 9 ∙102 + 9 ∙10 + 9) Or, puisque 9 ∙10n + 9 ∙10n-1 +… + 9 ∙102 + 9 ∙10 + 9 correspond à 10n+1 – 1, l’expression précédente devient = an ∙10n+1 + (9 – an + an -1) ∙10n + (9 – an -1 + an -2) ∙10n-1 +… + (9 – a2 + a1) ∙102 + (9 – a1 + a0) ∙10 + 9 – a0 – (10n+1 – 1) = an ∙10n+1 + (9 – an + an -1) ∙10n + (9 – an -1 + an -2) ∙10n-1 +… + (9 – a2 + a1) ∙102 + (9 – a1 + a0) ∙10 + 9 – a0 – 10n+1 + 1 En regroupant les termes dont l’exposant est n + 1, l’expression précédente devient = an ∙10n+1 – 10n+1 + (9 – an + an -1) ∙10n + (9 – an -1 + an -2) ∙10n-1 +… + (9 – a2 + a1) ∙102 + (9 – a1 + a0) ∙10 + 9 – a0 + 1 = (an – 1) ∙10n+1 + (9 – an + an -1) ∙10n + (9 – an -1 + an -2) ∙10n-1 +… + (9 – a2 + a1) ∙102 + (9 – a1 + a0) ∙10 + (10 – a0) L’expression précédente est bien la règle pour multiplier par 9.La multiplication par 11
Étape 1 Chiffre des unités de la réponse : recopier le dernier chiffre du multiplicande.
Étape 2 Additionner deux par deux les chiffres voisins du multiplicande en partant de la droite et ajouter l’éventuelle retenue.
Étape 3 Chiffre de gauche de la réponse : recopier le premier chiffre du multiplicande et l’éventuelle retenue du calcul précédent.
Exemple 1
1234 × 11 =
- Le dernier chiffre est 4
- De droite à gauche, les sommes sont :
3 + 4 = 7
2 + 3 = 5
1 + 2 = 3
Après les deux premières étapes, le nombre formé est 3574
- On recopie le premier chiffre du multiplicande (1) en avant du nombre formé à l’étape précédente et l’on obtient 13 574, ce qui est la réponse recherchée.
Exemple 2
56 788 × 11 =
- Le dernier chiffre est 8
- De droite à gauche, les sommes sont :
8 + 8 = 16, soit 6 et l’on retient 1
7 + 8 = 15 ; 15 + 1 (la retenue) = 16, soit 6 et l’on retient 1
6 + 7 = 13 ; 13 + 1 (la retenue) = 14, soit 4 et l’on retient 1
5 + 6 = 11 ; 11 + 1 (la retenue) = 12, soit 2 et l’on retient 1
Après les deux premières étapes, le nombre formé est 24 668
- On recopie le premier chiffre du multiplicande en avant du nombre formé à l’étape précédente et l’on obtient 524 668. En ajoutant la retenue l’on obtient 624 668, ce qui est la réponse recherchée.
Preuve
Soit N = an ∙10n + an -1 ∙10n-1 +… + a2 ∙102 + a1 ∙10 + a0
11∙N = (10 + 1)∙N = 10∙N + N
L’expression 10∙N + N peut être écrite comme suit
= 10∙(an ∙10n + an -1 ∙10n-1 +… + a2 ∙102 + a1 ∙10 + a0) + (an ∙10n + an -1 ∙10n-1 +… + a2 ∙102 + a1 ∙10 + a0)
= 10∙an ∙10n + 10∙an -1 ∙10n-1 +… + 10∙a2 ∙102 + 10∙a1 ∙10 + 10∙a0 + (an ∙10n + an -1 ∙10n-1 +… + a2 ∙102 + a1 ∙10 + a0)
= an ∙10n+1 + an -1 ∙10n +… + a2 ∙103 + a1 ∙102 + a0 ∙10 + an ∙10n + an -1 ∙10n-1 +… + a2 ∙102 + a1 ∙10 + a0
En regroupant les termes semblables, on obtient
= an ∙10n+1 + an ∙10n + an -1 ∙10n + an -1 ∙10n-1 +… + a2 ∙103 + a2 ∙102 + a1 ∙102 + a1 ∙10 + a0 ∙10 + a0
= an ∙10n+1 + (an + an -1) ∙10n +… + (a2 + a1) ∙102 + (a1 + a0) ∙10 + a0
L’expression précédente est bien la règle pour multiplier par 11.
Carré d’un nombre de deux chiffres
Étape 1 Chiffre des unités de la réponse : chiffre des unités du carré du chiffre[2] des unités du nombre à élever au carré.
Étape 2 : Double du produit des deux chiffres auquel on additionne la retenue obtenue à l’étape précédente.
Étape 3 : Carré du chiffre des dizaines du nombre à élever au carré auquel on ajoute la retenue obtenue à l’étape précédente.
Exemple
762 = ?
- 62 = 36, soit 6 et l’on retient 3 ;
- 7 x 6 x 2 + 3 (la retenue) = 87, soit 7 et l’on retient 8;
- 72 + 8 (la retenue) = 57, et l’on obtient 5 776, ce qui est la réponse recherchée.
Preuve
(AB)2 = (a × 10 + b) ∙(a × 10 + b)
= (a × 10)2 + 2 × a × 10 × b + b2
= a2 × 102 + 2 × a × b × 10 + b2
L’expression précédente correspond au nombre de trois ou de quatre chiffres cdef où cd = a2, e = 2ab et f = b2.
Cas particulier #1 – un nombre se terminant par 5
Étape 1 Les deux chiffres de la droite de la réponse correspondent à 52, soit 25.
Étape 2 Les deux premiers chiffres de la réponse : on multiplie le premier chiffre du nombre à élever au carré par son successeur.
Exemple
652 = ?
- 52 = 25
- (6 x 7) = 42, l’on obtient 4 225, ce qui est la réponse recherchée.
Preuve
(a5)2 = (a × 10 + 5) ∙(a × 10 + 5)
= (a × 10)2 + a × 10 × 5 × 2 + 52
= a2 × 102 + a × 102 + 52
= (a2 + a) × 102 + 52
= a(a + 1) × 102 + 52
L’expression précédente correspond bien au nombre de trois ou quatre chiffres écrit comme suit : a(a + 1) 25
Cas particulier #2 – un nombre dont le chiffre des dizaines est 5
Étape 1 Les deux chiffres de la droite de la réponse correspondent au chiffre des unités élevé au carré.
Étape 2 Les deux premiers chiffres de la réponse : on additionne le chiffre des unités à 52, soit 25.
Exemple
562 = ?
- 62 = 36
- 52 + 6 = 31, l’on obtient 3 136, ce qui est la réponse recherchée.
Preuve
(5a)2 = (5 x 10 + a) ∙(5 x 10 + a)
= (5 × 10)2 + 2 × 5 × 10 x a + a2
= 52 × 102 + a × 102 + a2
= (52 + a) × 102 + a2
L’expression précédente correspond bien au nombre de trois ou quatre chiffres écrit comme suit : (52 + a)a2
Ces techniques ne sont qu’un échantillon de la méthode dite de « Trachtenberg », soit une méthode de calcul mental inventée par Jacow Trachtenberg.
Mais, qui est Jacow Trachtenberg ?
Jacow Trachtenberg est un ingénieur juif né le 17 juin 1888,à Odessa, et mort le 26 octobre 1951, à Zurich. Sa méthode de calcul a été élaborée lors de son long séjour dans plusieurs camps de concentration nazis. Selon lui, travailler sur l’élaboration de cette méthode l’a aidé à garder un esprit sain malgré l’enfermement.
Camps de concentration et camps de prisonniers
Lorsqu’il est question des camps de la Deuxième Guerre mondiale, notre attention se porte indéniablement vers les camps de concentration, voire d’extermination, de Dachau, d’Auschwitz et de Treblinka. Or, cette guerre a aussi vu naître d’autres camps, tels les camps de prisonniers. Par exemple, la plupart des Canadiens capturés ont été détenus dans des camps de prisonniers de guerre allemands. Mais les alliés avaient aussi leurs camps de prisonniers.
Chose méconnue, « le Canada a accueilli environ 35 000 prisonniers de guerre allemands sur son territoire. Pendant plus de six ans, à la demande du gouvernement britannique, les autorités canadiennes ont administré des camps disséminés un peu partout au pays, mais principalement au Québec et en Ontario.
Les camps de Farnham, Sherbrooke, Grande Ligne, Trois-Rivières, Bowmanville ou Angler ont fait partie d’un vaste réseau d’une vingtaine de camps mis en place par l’armée canadienne. Certains camps sont restés ouverts tout au long de la guerre ; d’autres, comme celui de Cove Fields sur les Plaines d’Abraham, n’ont servi que le temps, pour les autorités militaires, d’aménager de nouveaux camps plus fonctionnels et plus isolés. »
L’extrait précédent provient du résumé du livre « Trop loin de Berlin – des prisonniers allemands au Canada (1939-1946) » ; livre très intéressant des auteurs Yves Bernard et Caroline Bergeron que je vous invite à lire pour apprendre sur un pan fort méconnu de notre histoire.
Quelques mots sur la croix gammée
Le terme « gammée » renvoie à la lettre grecque « gamma » majuscule (« Γ »), à laquelle ressemblent les quatre branches de la croix gammée. Gamma… comme « loi gamma » en probabilités ou fonction Gamma en analyse complexe…
- Les preuves de cet article font fi des retenues.
- Pour faciliter la lecture du texte, le terme « chiffre » est utilisé dans le sens de « nombre formé d’un chiffre ».
Bibliographie
- https://fr.wikipedia.org/wiki/Croix_gammée_nazie
Le lecteur intéressé par la méthode Trachtenberg peut consulter le livre d’Ann Cutler, disponible gratuitement en format PDF, The Trachtenberg Speed System of Basic Mathematics. - Quelques techniques sont présentées sur Wikipedia (la photo se trouve aussi à cette adresse) : https://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thode_Trachtenberg#:~:text=La%20m%C3%A9thode%20Trachtenberg%20est%20une,d%C3%A9compositions%20en%20calculs%20plus%20simples
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