Son choix porte sur le « nombre de boîtes que peut contenir le camion de Richard ». Si \(x\) représente ce nombre, alors le nombre de boîtes que peut contenir la voiture de Marie est trois fois moins grand, donc \(\frac{x}{3}\), et il faut ajouter la boîte qui est sur le toit. L’élève no 4 procède ainsi à une bonne identification des inconnues, mais également à une mise en équation correcte et il maîtrise les manipulations syntaxiques nécessaires à la résolution de l’équation. De plus, l’élève no 4 vérifie la réponse qu’il a obtenue, ce qui l’assure qu’il n’a pas fait d’erreurs de manipulations syntaxiques. Il reconnaît que la valeur trouvée correspond au nombre de boîtes que peut contenir le camion de Richard. Lors de la résolution de ce problème, l’élève gère efficacement les opérations avec des fractions, des nombres fractionnaires et des parenthèses. En effet, il divise correctement par 9 et \(\frac{2}{3}\) les deux membres de l’égalité, ce qui n’est pas si simple pour un élève de son niveau scolaire. Toutefois, lors de l’analyse de la production de Renaud, l’élève no 4 fait preuve de peu de flexibilité pour comprendre le choix de l’inconnue génératrice de l’élève fictif. Il rature dans la production de Renaud l’identification des inconnues sur lesquelles il s’appuie (figure 2) pour que celles-ci correspondent au choix qu’il a fait lors de sa résolution individuelle (figure 1). La mise en équation proposée par Renaud est alors modifiée, ainsi que la résolution de cette équation. L’élève change aussi la réponse obtenue par Renaud, donnant ainsi la bonne réponse. On peut remarquer que la production de Renaud n’apporte aucune plus-value à la résolution de cet élève.

Figure 2 : Commentaires de l’élève no 4 comme enseignant implicite sur la copie de Renaud

À la suite de ces ajouts sur la copie de Renaud, l’élève no 4 explicite que « \(x\) », l’inconnue génératrice, doit être celle des inconnues pour laquelle on a le moins d’informations (figure 3).

Figure 3 : Éléments relevés par l’élève no 4 sur la copie de Renaud.

Soulignons que cet élève semble se donner une règle pour choisir l’inconnue génératrice : celle pour laquelle on a le « moins d’informations ». Cette inconnue est, d’après l’élève no 4, le « nombre de boîtes qui entrent dans le camion de Richard ». Nous pouvons penser que ce choix est fait parce que, pour le camion, il n’y a pas de boîte supplémentaire sur le toit à gérer, comme c’est le cas pour la voiture. On peut se demander si l’élève ferait le même choix, peu importe le problème.  Contrairement à cet élève qui ne montre pas de flexibilité quant au choix de l’inconnue génératrice, la figure 4 expose la production d’un élève qui fait preuve d’une telle flexibilité.

Figure 4 : Résolution de l’élève no 5 qui fait le même choix pour l’inconnue génératrice que l’élève no 4.

Lors de la résolution individuelle, l’élève no 5 choisit « \(x\) » comme le nombre de boîtes que peut contenir le camion à titre d’inconnue génératrice (Tableau 1, choix 2). Il fait le même choix que l’élève no 4 (figure 1). Il s’appuie donc sur une reformulation de la relation de comparaison telle que donnée dans le problème pour trouver le nombre de boîtes que peut contenir la voiture de Marie et indique, lors de l’identification des inconnues, que la voiture peut, en plus, transporter une boîte sur le toit à chaque aller-retour. Cet élève procède donc à une bonne identification des inconnues. Des difficultés surgissent toutefois lors de la mise en équation, l’élève ne mettant pas de parenthèses. Il considère les huit allers-retours pour le nombre de boîtes que peut transporter la voiture, mais néglige les huit allers-retours pour la boîte qui est sur le toit. On devrait donc lire \(8x \div 3 + 8\) ou \(8(x \div 3 + 1)\) au lieu de \(8x \div 3 + 1\). Cela laisse transparaître la fragilité dans le passage d’un problème en mots à l’écriture de l’équation lors des premiers pas des élèves avec l’algèbre formelle. De plus, des difficultés manipulatoires s’expriment lors de la résolution quand l’élève ajoute \(8x\) et \(7x\) sans prendre en considération la division par 3 du premier terme, ce qui l’amène à trouver un nombre décimal pour le nombre de boîtes que peut contenir le camion de Richard. Nous constatons ainsi à la fois des difficultés dans l’écriture de l’équation et dans sa résolution, et ce, alors que l’identification des inconnues est bien menée. Peut-être que le fait d’utiliser le symbole de division « \(\div\) » au lieu du trait de fraction est à la source de ces difficultés ? Ceci reste une présomption. Par ailleurs, lors de l’analyse de la résolution de Renaud, l’élève arrive à se décentrer de sa résolution et à adopter le point de vue de Renaud. Ceci l’amène à considérer la même inconnue génératrice que Renaud : celle-ci étant différente de celle qu’il avait posée au départ (figure 5).

Figure 5 : Résolution de l’élève no 5 qui fait le même choix pour l’inconnue génératrice que l’élève no 4.

On peut constater que l’élève no 5 procède à une bonne identification des inconnues. Il ajoute pour le nombre de boîtes que transporte la voiture de Marie la boîte sur le toit qui est implicite dans la production de Renaud. Il arrive par la suite à une mise en équation correcte. Il met les parenthèses pour considérer les huit allers-retours de la voiture à la fois pour le nombre de boîtes dans la voiture et celle sur le toit (\(8(x + 1)\)). De plus, il maîtrise les manipulations syntaxiques au moment de la résolution de l’équation et conserve l’équivalence entre les équations, obtenant 11 comme résultat qu’il vérifie ensuite en insérant cette valeur dans l’équation de départ. Toutefois, il commet la même erreur que Renaud en identifiant la réponse comme le nombre de boîtes dans le camion et non le nombre de boîtes que transporte la voiture, sans compter celle qui est sur le toit. On observe ici que l’élève ne retourne pas à l’énoncé du problème. Attribuer la position d’enseignant implicite a permis de constater que cet élève possède une flexibilité lors du choix de l’inconnue génératrice, puisque celui-ci change de choix d’inconnue génératrice, passant de \(x\) comme étant le nombre de boîtes dans le camion de Richard à \(x\) comme le nombre de boîtes dans la voiture de Marie. De plus, la production de la figure 5 est la deuxième production individuelle (avant la partie de résolution en dyade) présentée par l’élève no 5 et celle-ci semble avoir été motivée par la production fictive de Renaud. On constate que, dans cette deuxième production, la résolution de Renaud lui a permis de déceler la présence d’une parenthèse, implicite dans la résolution de Renaud (en appliquant directement la distributivité simple dans la mise en équation) que l’élève no 5 rend explicite à l’étape 2 de sa production. Cet élève rend ainsi apparents les « pas de raisonnement » implicites de Renaud.

Réflexion autour du sens donné par les élèves à la vérification

Dans la majorité des productions des élèves que nous avons analysées, les élèves écrivent les nombres de 1 à 5 qui correspondent aux cinq étapes d’une méthode de résolution de problèmes algébriques institutionnalisée par leur enseignante. La vérification correspond, dans ce modèle, à la cinquième étape. Il est demandé à l’élève de remplacer la valeur trouvée après la résolution de l’équation dans l’équation pour s’assurer que la réponse est adéquate. Soulignons que cette vérification permet de s’assurer qu’il n’y a pas eu d’erreurs de manipulations syntaxiques lors de la résolution de l’équation, mais qu’elle ne nous renseigne pas sur la validité de la mise en équation. Pour valider la réponse obtenue, il ne s’agit pas seulement de procéder à une vérification de la réponse, mais un retour au problème est également nécessaire pour s’assurer de la vraisemblance de la réponse dans le problème. Ce regard posé sur la réponse peut se faire en amont de la résolution, quand c’est possible, en anticipant l’ordre de grandeur du résultat. La figure 6 présente le cas de l’élève no 8 qui est conscient des limites de sa vérification.

Figure 6 : Exemple de l’élève no 8 qui procède à une vérification.

L’élève no 8 procède à la vérification du résultat qu’il a obtenu de 81,5. Il arrive ainsi à 327 = 327 et semble indiquer, par un bonhomme sourire, qu’il n’a pas fait d’erreurs de manipulations syntaxiques. Toutefois, il s’interroge sur la vraisemblance de son résultat, puisqu’il écrit : « Logiquement, je n’ai pas la bonne réponse. C’est un peu trop ! ». Il questionne ainsi l’ordre de grandeur de la réponse trouvée, amorçant probablement une identification de ses erreurs (« c’est un peu trop ! »), sans toutefois arriver à surpasser la contradiction. Fait intéressant à noter, lors de l’analyse de la copie de Renaud, l’élève no 8 écrit « logiquement un camion ne peut contenir 11 boîtes seulement, ça devrait être plus ». Il se réfère à la vie réelle, à la connaissance qu’il a des camions et met de l’avant la question de la vraisemblance des problèmes présentés aux élèves en mathématiques. Cet élève a certainement une idée d’un nombre « raisonnable » de boîtes qu’un camion ou une voiture peuvent transporter.  Par ailleurs, la vérification est vue par certains élèves comme une étape à réaliser au même titre que les autres. Ils ne semblent pas percevoir l’utilité de procéder à une vérification. Un changement de posture n’est possible que lorsque l’élève est confronté aux bienfaits de la vérification et qu’il ressent le besoin de vérifier. De plus, la vérification ne permet pas de localiser l’erreur, mais contribue à dépasser un doute possible sur la résolution de l’équation initialement posée. Une action est nécessaire pour repérer l’erreur, telle que la reprise des manipulations syntaxiques déployées et/ou la résolution de l’équation en adoptant une autre démarche ou reprendre le problème avec la donnée des 11 boîtes trouvées (si la voiture de Marie peut transporter 11 boîtes plus une sur le toit, elle transportera en huit allers-retours, 12 x 8 boîtes, etc.). 

En guise de conclusion : quelques apports de ce type de problème pour l’enseignante et l’élève

L’analyse des retours faits en classe par l’enseignante ayant participé à l’expérimentation (Labrosse, 2020) montre plusieurs apports didactiques liés à l’exploitation du problème du déménagement. D’abord, elle a pu enrichir son enseignement, notamment en exploitant des stratégies non anticipées pour créer, par exemple, des conflits cognitifs à partir d’erreurs, ou pour mieux saisir des raisonnements d’élèves lors des échanges en classe. Elle a aussi pu revenir sur des savoirs anciens ou en introduire des nouveaux. Par exemple, elle a pu questionner les élèves sur le choix de l’inconnue génératrice fait par Renaud. Ensuite, les prises de position écrites des élèves, notamment lorsqu’ils adoptaient la posture d’enseignant, ont donné un accès privilégié à l’enseignante aux arguments invoqués pour justifier leur prise de position ou leurs commentaires. Elle a ainsi pu animer un débat dans la classe afin d’obtenir les différents points de vue des élèves à propos de ces arguments. Les interactions sont d’autant plus riches dans un problème comme le déménagement où une solution fictive arrive à une bonne réponse, mais avec des étapes implicites. Les interactions sont alors centrées sur les raisonnements plutôt que sur la réponse. L’enseignante a aussi consigné dans un journal de bord des réflexions orientant des actions pour l’avenir. Par exemple, elle a mentionné l’importance de travailler avec les élèves la vérification d’une réponse obtenue afin de distancer les élèves d’une approche « mécanique » ou de faire un travail sur la vision de l’élève d’une résolution d’un problème en algèbre par les commentaires laissés sur la copie de Renaud. Par ailleurs, pour les élèves, proposer des problèmes dans lesquels ils prennent une posture « d’enseignant » les amène à une prise de conscience sur leur propre résolution en analysant celle d’un élève fictif. Ils peuvent amorcer ou confronter leur propre résolution, leurs calculs, leur solution. Une production d’un élève fictif permet aussi une relance de recherche de solution pour un élève qui est bloqué. Enfin, nous avons constaté que poser un regard d’élève-enseignant sur une copie qui n’est pas la sienne motive les élèves à s’attarder sur les détails de la solution proposée, favorisant ainsi son engagement dans la résolution du problème.