En reprenant le raisonnement de Sarah, nous cherchons d’abord la valeur à donner à 1 % pour comparer les deux expressions.

• Si le tout de référence est 95, alors 1 % équivaut à 0,95 et 13 % représentent moins que 13. En passant de l’expression du haut à celle du bas, la perte de 13 % est moins importante que le gain de 13.
  Conclusion : l’expression du bas a une valeur plus grande que celle du haut.
• Si le tout de référence est plutôt 108, alors 1 % équivaut à 1,08 et 13 % représentent plus de 13. En passant de l’expression du haut à celle du bas, la perte de 13 % est plus importante que le gain de 13.
  Conclusion : l’expression du bas a une valeur plus petite que celle du haut.

Que se passe-t-il ici ? Il est possible d’obtenir deux réponses contraires pour la même question : l’expression du haut vaut plus que celle du bas, et vice versa ! Il semble donc que la stratégie de Sarah ait des limites. En effet, elle peut mener à des conclusions contradictoires lorsque les deux touts se situent de part et d’autre de 100. Considérer la relativité du pourcentage est un pas dans la bonne direction, mais le choix du tout auquel associer l’écart de 13 % est déterminant. Clarifions la situation en examinant les deux expressions : 63 % de 95 équivaut à environ 60, tandis que 50 % de 108 s’évalue à 54. Dans les faits, c’est l’expression du haut qui a une valeur plus grande. C’est donc la deuxième conclusion qui est vraie. Mais comment se fait-il que la première soit fausse ? De surcroît, comment se fait-il que les deux conclusions soient contradictoires ? Ce problème n’est pas apparu dans la tâche initiale parce que les deux touts y sont supérieurs à 100. Explorons donc ce qui se passe lorsque les touts sont inférieurs à 100.

Troisième embûche : Les touts inférieurs à 100

Pour étudier la question, comparons 63 % de 82 et 50 % de 95. Il y a toujours un écart de 13 % à gauche et un écart de 13 à droite. La stratégie de Sarah nous amène encore à fixer la valeur de 1 % pour évaluer les deux expressions.

• Si le tout de référence est 82, alors chaque 1 % vaut 0,82 et 13 % représentent moins de 13. En passant de l’expression du haut à celle du bas, la perte de 13 % est moins importante que le gain de 13.
  Conclusion : l’expression du bas a une valeur plus grande que celle du haut.
• Si le tout de référence est plutôt 95, alors chaque 1 % vaut 0,95 et 13 % représentent moins de 13. En passant de l’expression du haut à celle du bas, la perte de 13 % est moins importante que le gain de 13.
  Conclusion : l’expression du bas a une valeur plus grande que celle du haut.

Enfin, il n’y a plus de contradiction ! La stratégie de Sarah nous mène toujours à la même réponse : l’expression du bas a une valeur plus grande que l’expression du haut. Pour valider cette réponse, pourquoi ne pas évaluer les pourcentages ? 63 % de 82 équivaut à environ 52 alors que 50 % de 95 équivaut à 47,5. C’est l’expression du haut qui a la valeur la plus grande, et non celle du bas ! La stratégie de Sarah nous mène maintenant deux fois à une réponse erronée, quel que soit le chemin parcouru ! De toute évidence, il y a des aspects de la stratégie de Sarah que nous ne contrôlons pas.

La prise en compte de la relativité du pourcentage nous mène à vouloir choisir un tout de référence parmi les touts en jeu dans la tâche. Or, selon que les touts en jeu soient situés au-dessus de 100, de part et d’autre de 100 ou en dessous de 100, les réponses obtenues sont justes, contradictoires, ou bien toutes les deux erronées ! Qu’est-ce qui nous échappe dans cette stratégie et son raisonnement ?

Un pas de plus sur le chemin de la relativité

Ces explorations nous mènent dans une impasse. Pour tenter de nous en sortir, retournons à notre point de départ. Pourquoi Sarah choisit-elle d’associer l’écart de 13 % au tout de 287 ? Ce choix n’est pas aléatoire. Il est guidé par un certain raisonnement auquel nous n’avons pas directement accès, mais duquel nous pouvons néanmoins nous inspirer pour tenter de dévoiler ce qui se cache derrière cette stratégie.

D’abord, considérons l’énoncé de la tâche initiale. Il est clair que « 63 % » n’existent pas seuls et sont rattachés à un tout : il s’agit de 63 % de 287. Ensuite, dans la stratégie de Sarah, il apparaît clair que l’écart de 13 % est lui aussi rattaché au tout de 287 (puisque, pour elle, 1 % vallent 2,87). C’est logique : à 63 % d’un tout, nous retranchons 13 % du même tout. Or, en retranchant à 63 % d’un tout, 13 % du même tout, le résultat n’est pas qu’un simple 50 %, vivant seul, mais bien 50 % du même tout. Autrement dit, 50 % sont obtenus en retranchant 13 % à 63 %, si ces pourcentages sont associés au même tout.

Il s’agit donc peut-être d’une des pièces manquantes du casse-tête. Dans les différentes embûches rencontrées jusqu’ici, les expressions du bas n’ont pas les mêmes touts de référence que celles du haut (300 versus 287 ; 95 versus 108 ; 82 versus 95). Il peut donc paraître impossible d’arriver à la deuxième expression en retranchant 13 % à la première, car les deux pourcentages ne réfèrent pas au même tout. Il manque peut-être une étape à la stratégie de Sarah pour comprendre ce qu’elle recèle.

En gardant cette idée en tête, revisitons la troisième embûche, où les deux touts sont inférieurs à 100, en tentant de décortiquer la stratégie. En suivant le raisonnement de Sarah, nous pouvons faire ressortir une première étape qui consiste à retrancher 13 % de 82 à l’expression du haut, ce qui donne 50 % de 82.

Évidemment, « 50 % de 82 » n’est pas l’expression cherchée. Cela dit, elle peut nous servir de transition dans le passage vers 50 % de 95. La prochaine étape consiste alors à comprendre comment passer de cette expression de transition (50 % de 82) à l’expression finale (50 % de 95). Nous avons déjà le bon pourcentage (50 %), il reste à transformer le tout de 82 à 95. Mais quel sens donner à cet ajout de 13 pour passer de 82 à 95 ? Pour nous permettre d’y voir plus clair, calculons aussi les valeurs des deux expressions en jeu :

L’expression de transition vaut 41, alors que l’expression du bas vaut 47,5. Il y a donc un écart de 6,5 entre les valeurs des deux expressions. En comparant ces deux nombres, il saute aux yeux que 6,5 est, en fait, la moitié de 13 !

Les pièces du casse-tête se mettent en place. Dans le passage de 50 % de 82 vers 50 % de 95, chacune des 13 unités prend une valeur de 0,50, puisqu’elles sont rattachées à 50 %. C’est pour cette raison que l’écart de 13 unités vaut 6,5. Comme le pourcentage est relatif à un tout, le tout est lui aussi, à sa façon, relatif au pourcentage. Ils sont connectés. C’est bien en ajoutant 50 % de 13 à 50 % de 82 que l’expression obtenue est 50 % de 95. Autrement dit, 95 est obtenu si ces nombres sont associés au même pourcentage².

Avec cette nouvelle sensibilité à l’égard des pourcentages, que nous pourrions appeler la relativité des unités, nous pouvons donner une nouvelle interprétation aux embûches rencontrées jusqu’ici, à commencer par l’embûche des deux touts inférieurs à 100.

Maintenant que les unités sont rattachées à leur pourcentage, la comparaison des expressions peut se faire comme dans la stratégie de Sarah :

• En passant de l’expression du haut à celle du bas, chaque 1 % vaut 0,82, alors que chaque unité vaut 0,50. La perte de 13 % est donc plus importante que le gain de 13 unités (\(13 \times 0,82 > 13 \times 0,50\)).
  Conclusion : l’expression du bas a une valeur plus petite que celle du haut.

En tenant compte de la relativité des unités, l’écart de 13 unités est maintenant vu comme inférieur à l’écart de 13 % et ainsi, la réponse obtenue correspond à celle que nous avions obtenue en évaluant directement chacune des deux expressions.

Si les expressions étaient traitées dans l’ordre inverse :

• En passant de l’expression du haut à celle du bas, chaque 1 % vaut 0,95, alors que chaque unité vaut 0,63. Le gain de 13 % est donc plus important que la perte de 13 unités (\(13 \times 0,95 > 13 \times 0,63\)).
  Conclusion : l’expression du bas a une valeur plus grande que celle du haut.

Cette réponse est équivalente à celle obtenue précédemment. Dans un cas comme dans l’autre, 50 % de 95 vaut moins que 63 % de 82. Notre stratégie initiale adaptée de celle de Sarah mène maintenant à des conclusions non seulement cohérentes, mais aussi adéquates. Mais qu’en est-il des autres embûches ? La relativité des unités permet-elle de mieux en comprendre les rouages ?

Reprendre la route avec la relativité de l’unité

Le lecteur ou la lectrice est invité à revisiter avec nous les embûches rencontrées précédemment en gardant en tête la relativité des unités. D’abord, comment se fait-il que la tâche initiale ait pu être résolue par Sarah, alors que celle-ci semblait uniquement tenir compte de la relativité du pourcentage, mais non de la relativité de l’unité ? Sarah compare l’écart de 13 % (où chaque 1 % vaut 2,87) à un écart de 13 unités (où chaque unité vaut 1) et en conclut que l’écart en pourcentage vaut plus. Avec cette nouvelle compréhension de la relativité des unités, nous pouvons constater que chaque unité dans l’écart de 13 vaut en réalité 0,5. Il est donc vrai que l’écart de 13 % est plus important que celui de 13, non pas parce que \(13 \times 2,87 > 13 \times 1\), mais parce que \(13 \times 2,87 > 13 \times 0,5\).

Par ailleurs, la stratégie de Sarah semblait curieusement sensible à l’ordre dans lequel les énoncés sont traités, en particulier quand les touts chevauchent 100. En effet, si l’on considère 95 ou 108 comme tout de référence, la valeur de chaque 1 % vaut 0,95 ou 1,08, respectivement. Ainsi, le choix du tout de référence peut faire varier de 0,13 la valeur de chaque 1 %. Or, étant donné la relativité de l’unité, c’est aussi la valeur de l’unité qui est changeante, selon que ce soit 63 % ou 50 % qui soient pris comme pourcentage de référence. Effectivement, le pourcentage de référence fluctue entre 13 %, et la valeur de chaque unité connaît également des variations : elle est soit de 0,63, soit de 0,50. Ici aussi, il y a une variation de 0,13 entre les deux valeurs possibles.

Selon le choix de l’expression de référence, considérée comme l’expression initiale qui subit la transformation, nous avons soit un écart de \(13 \times 1,08\) comparé à un écart de \(13 \times 0,63\), soit un écart de \(13 \times 0,95\) comparé à un écart de \(13 \times 0,50\). D’un cas à l’autre, en considérant à la fois la relativité du pourcentage et celle des unités, il y a une même variation de \(13 \times 0,13\) dans les deux quantités à comparer. Par conséquent, la conclusion ne change pas.

À la deuxième embûche, la disposition des deux touts de part et d’autre de 100 menait à des conclusions contradictoires quand seule la relativité du pourcentage était considérée. En prenant également en compte la relativité des unités, notre stratégie adaptée de celle de Sarah mène maintenant à des réponses cohérentes et adéquates, peu importe l’ordre dans lequel les énoncés sont traités. En effet, dans la comparaison des écarts de 13 % et de 13 unités, la valeur de chaque 1 % et la valeur de chaque unité varient ensemble, de la même façon. Ainsi, la conclusion est la même, peu importe laquelle des deux expressions est choisie comme point de départ du raisonnement.

Un dernier regard en arrière

Par cet article, nous avons voulu vous amener avec nous sur le chemin dans lequel nous avons dû nous engager pour tenter de comprendre la stratégie mobilisée par une élève de deuxième secondaire face à une tâche de pourcentages. Le chemin pouvait paraître facile au départ, mais il était semé d’embûches. En effet, bien qu’une stratégie d’élève puisse paraître simple au premier coup d’œil, elle a le potentiel d’engager des explorations mathématiques riches, comme ce fut le cas ici. La richesse de ces explorations nous rappelle à la vigilance. Non seulement les pourcentages ont des valeurs qui dépendent des touts auxquels ils sont associés, mais au contact des pourcentages, les nombres ont eux-mêmes des valeurs qui dépendent des pourcentages.

Et vous, quelle était votre stratégie ? Était-elle aussi « simple » que celle de Sarah ?