Les rôles

Introduction

Cet article présente les résultats d’une recherche doctorale complétée en 2025 portant sur les rôles des habiletés spatiales et des connaissances spatiales en résolution de problèmes de géométrie de l’espace. Ancrée dans la méthodologie du Design Research (Cobb et Gravemeijer, 2008 ; Edelson, 2002), l’étude s’appuie sur l’élaboration et l’expérimentation d’une séquence d’enseignement de sept séances de 75 minutes, articulée autour de trois problèmes de géométrie de l’espace. Ces problèmes ont été conçus afin de susciter la mobilisation conjointe des habiletés spatiales, des connaissances spatiales et des connaissances géométriques.

1. Problématique

Voici le problème de recherche :

En résolution de problèmes, la mise en fonctionnement des habiletés spatiales, des connaissances spatiales et des connaissances géométriques — en particulier du point de vue de leur coordination — que l’élève fait intervenir, autant chez celui qui solutionne que chez celui qui éprouve des difficultés, doit être analysée et mieux comprise :

• Comment peut-on décrire et caractériser cette mise en fonctionnement ?
• En quoi les problèmes spatiaux qui seront proposés aux élèves, les solutions qu’ils élaboreront et les stratégies qu’ils mettront en œuvre peuvent-ils aider à investiguer et mieux comprendre cette mise en fonctionnement ?

2. Cadre théorique

2.1 Les habiletés spatiales

Le cadre théorique repose sur plusieurs concepts. Les habiletés spatiales qui sont les plus souvent mobilisées en contexte de résolution de problèmes géométriques et qui sont étudiées par les chercheurs dans ce domaine d’études (Duroisin, 2015 ; Duval, 2002 ; 2005 ; Mithalal, 2010 ; 2014) sont les suivantes :

• La visualisation spatiale qui se subdivise en deux sous-composantes : d’abord, la visualisation directe (ou externe), qui est la perception par la vision (au sens de Duval, 2002) d’un objet physique, d’une représentation 2D sur papier ou sur un écran numérique. Puis, la visualisation mentale (interne) induite par la création d’images mentales, en premier lieu à partir de la visualisation externe d’un objet ou d’une représentation, ensuite issue de la mémorisation d’une telle visualisation externe, et à un stade plus avancé, à partir de l’imagination de possibles visualisations externes. La visualisation spatiale peut être liée spécifiquement à un aspect des connaissances spatiales, à savoir le processus de décodage/encodage des représentations 2D des objets 3D.
• Les transformations spatiales relèvent d’une habileté à imaginer et manipuler mentalement les transformations d’objets, telles que la rotation mentale (incluant l’anticipation de l’orientation de l’objet), des reconfigurations, des déplacements, des découpages-réorganisations, des projections, etc.

2.2 Les connaissances spatiales

Voici la caractérisation des connaissances spatiales dans le cadre de notre recherche :

• savoir repérer, trouver et communiquer la position des objets avant, pendant ou après un déplacement (Berthelot et Salin, 1999-2000) ;
• savoir reconnaître (après les avoir mémorisés) une banque d’objets géométriques institutionnalisés, standardisés en 2D et 3D (Grenier et Tanguay, 2008 ; Tanguay et Grenier, 2010) dans des objets physiques concrets ou dans des représentations ;
• reconnaître certaines des propriétés de ces objets (qui se manifestent, par exemple, au découpage), les interrelations entre ces propriétés (Parzysz, 1989 ; 1991) ;
• être capable de décrire ces objets et leurs propriétés ;
• les connaissances géométriques, qui sont les connaissances spatiales ayant fait l’objet d’une institutionnalisation (les connaissances prédicatives de Vergnaud (2001)).

2.3 Les connaissances géométriques

Les connaissances géométriques sont des connaissances issues du savoir géométrique et mises en jeu dans la résolution de problèmes de l’espace. Elles font référence aux contenus scolaires qui deviennent théorisés, voire même axiomatisés à un niveau plus avancé, afin de créer un système cohérent (Battista, 2007 ; Clements et Battista, 1992). Nous réservons la locution « connaissances géométriques » aux connaissances liées aux géométries plane et spatiale, institutionnalisées dans l’institution « école ». Ce sont les connaissances scolaires qui ont trait spécifiquement aux objets de la géométrie (plane ou spatiale), aux relations entre ces objets et aux propriétés que peuvent avoir (ou non) ces objets. Les termes associés peuvent désigner aussi bien des objets et propriétés théoriques que les formes ou les propriétés des objets matériels existant dans l’espace sensible (rectangle, pyramide, bord, sommet, extérieur, intérieur, etc.) — ils sont alors communs au lexique de tous les jours et au lexique mathématique —, ou au contraire être spécifiques de la géométrie (segment, polyèdre, apothème, etc.).

2.4 Le conflit « vu/su » (Parzysz, 1988 ; 2007)

Lorsque, dans un problème de géométrie spatiale, il y a présence de représentations 2D d’objets 3D, ou quand l’élève doit en produire une pour résoudre le problème, alors le conflit « vu/su » est susceptible de se manifester : on ne peut dessiner certaines figures de l’espace que si l’on sait d’avance comment en sont disposés les divers constituants. Mais, par ailleurs, ces connaissances peuvent entrer en conflit avec ce que l’on voit dans la figure, par exemple l’angle droit entre deux faces d’un cube qui n’est pas (physiquement) droit dans sa représentation en perspective cavalière.

Les représentations 2D ne facilitent pas nécessairement le repérage des éléments et peuvent être source d’illusions, peuvent donner lieu à des interprétations (décodages) erronées. En conséquence, dans le développement des habiletés spatiales, nous devons trouver comment favoriser celui des connaissances spatiales sans entraver la compétence à visualiser ; autrement dit, il s’agit de trouver comment les différentes habiletés spatiales et les connaissances spatiales peuvent se développer en se soutenant plutôt qu’en entrant en conflit.

2.5 Questions de recherche

Les questions de recherche se déclinent ainsi :

1. Quels rôles peuvent jouer les habiletés spatiales et les connaissances spatiales, notamment via les processus d’encodage et de décodage des représentations 2D ? Comment les décrire et les analyser à partir des démarches de résolution des problèmes proposés ?
2. En quoi les problèmes proposés ont-ils été propices à faire travailler de manière interdépendante les habiletés spatiales, les connaissances spatiales, les connaissances géométriques et leur coordination ? Sinon, peut-on retravailler ces problèmes, les revoir, les ajuster relativement à certains aspects des habiletés spatiales, des connaissances spatiales et géométriques qu’ils mettent en jeu ?

3. Méthodologie

3.1 Opérationnalisation et instrumentation de la méthodologie

La méthodologie relève du Design Research (Edelson, 2002 ; Cobb et Gravemeijer, 2008). La conception de la séquence s’appuie sur la notion de trajectoire hypothétique d’apprentissage (Simon, 1995).

3.1.1 Recrutement des participants

Les participants sont 31 élèves (16-17 ans) de l’année scolaire 2022-2023, inscrits en 5^e secondaire — séquence mathématique Culture, société et technique — d’une école secondaire de l’Outaouais. Nous avons été l’enseignant et le chercheur ayant piloté la séquence d’enseignement.

3.1.2 Opérationnalisation selon la méthode Think Aloud

Tous les élèves ont résolu les problèmes en même temps, à l’écrit, en binômes, durant les séances. Ils ont indiqué les traces écrites de leurs démarches dans un cahier recueilli à la fin de la séquence. Selon la méthode Think Aloud (van Someren et al., 1994), une caméra fixe a été installée pour enregistrer les échanges de la classe. En parallèle, quatre équipes sélectionnées, dont les échanges verbaux ont été enregistrés par quatre caméras (une pour chacune). Afin d’assurer une meilleure captation et minimiser les bruits parasites, nous avons isolé trois de ces quatre équipes dans une salle à part (avec trois caméras) à proximité de la classe.

3.1.3 Design de la séquence d’enseignement

La séquence d’enseignement a consisté en sept périodes de 75 minutes :

Les séances 2 et 3 ont traité du Problème 1 (le marchand de sable¹ ). Les élèves devaient reconfigurer (transformation spatiale) un tétraèdre obtenu par pliage d’une enveloppe, le représenter en perspective cavalière, puis calculer son volume. Ce problème sollicitait la visualisation spatiale, la représentation en perspective cavalière et les connaissances géométriques liées aux pyramides et à la perpendicularité. Les élèves devaient démontrer (raisonnement déductif) que la hauteur FM de la face ∆ADF est perpendiculaire à la base ∆ADE en utilisant les théorèmes de perpendicularité.

Les séances 4 et 5 concernaient le Problème 2² (∆ABC à l’intérieur d’un prisme droit à base rectangulaire) : les sommets du ∆ABC sont situés aux points milieux de certaines arêtes du prisme droit à base rectangulaire illustré. Ce triangle semble rectangle en A. L’est-il ? Justifie ta réponse.

4. Analyses

4.1 Analyse des données expérimentales à l’aide de cinq grilles

Les données analysées proviennent des productions écrites de 32 élèves de 5^e secondaire (séquence CST). L’analyse a reposé sur des grilles portant sur la visualisation externe, la visualisation interne (mentale) et les conflits « vu/su », adaptées à chacun des problèmes. Ces analyses ont permis d’apporter des réponses aux questions de recherche.

4.2 Perspective retenue : le conflit « vu/su »

Le conflit « vu/su » se manifeste quand l’élève doit représenter des objets géométriques 3D sur papier. Bien qu’il y ait nécessairement perte d’information dans le passage de l’objet à son dessin, l’élève a souvent l’illusion qu’il peut en donner une représentation conforme, non ambiguë, grâce à un dessin suffisamment élaboré de l’objet.

Réciproquement, quand on propose à l’élève de « lire » un dessin, il peut avoir tendance à considérer que les propriétés « lues » sont aussi les propriétés de l’objet.

Dans la plupart des représentations 2D des objets 3D, des conventions interviennent et font que la représentation ne correspond pas exactement à ce qu’on verrait (physiquement) en présence de l’objet.

Parzysz (1988 ; 2007) avance que le dessin en perspective cavalière est bien adapté à l’apprentissage visé de la géométrie de l’espace, en tant qu’outil de résolution de problèmes. Mais son bon usage nécessite un apprentissage spécifique (contrôle du transfert des propriétés), faute de quoi il perd de son efficacité, notamment à minimiser le conflit « vu/su ».

4.2.1 Exemple d’analyse de solutions du Problème 1

La démarche d’analyse a consisté en la comparaison des productions écrites. L’analyse des solutions du problème 1 s’est déroulée en deux phases :

• La phase 1 a traité des habiletés spatiales (visualisation et transformations spatiales) et des connaissances géométriques qui ont permis de réaliser les calculs.
• La phase 2 était axée sur le raisonnement déductif, à savoir la façon dont les élèves ont invoqué les théorèmes relatifs à la perpendicularité dans l’espace pour justifier leur raisonnement.

4.2.2 Exemple d’analyse de solutions du problème 2

L’analyse des solutions des élèves, réalisée en une seule phase, révèle que 9 des 16 équipes ont mobilisé la visualisation spatiale, tant directe que mentale, pour repérer l’ensemble des six triangles rectangles présents dans la figure. L’analyse de la copie de la dyade no 15 (figure 6) expose plusieurs éléments adéquats en résolution du Problème 2. Nous constatons que les élèves (dyade no 15) ont eu recours à la visualisation interne, puisqu’ils ont correctement codé les angles droits des triangles rectangles (CID, ADC, CHG, CGB, BFE, AEB). En conséquence, ils ont fait interagir cette visualisation interne avec des connaissances spatiales spécifiques (savoir représenter en perspective cavalière des objets 3D et savoir repérer les angles droits).

La visualisation spatiale leur a ensuite permis d’appliquer adéquatement les connaissances géométriques pertinentes, notamment le théorème de Pythagore, pour déterminer les mesures manquantes des segments [CD], [CG], [BE], [AC], [AB] et [BC], ainsi que sa contraposée pour démontrer que l’angle BAC n’est pas droit \(m\angle BAC \neq 90^\circ\). Cela implique une articulation efficace entre les habiletés de visualisation spatiale et les connaissances géométriques dans la résolution du problème.

4.2.3 Exemple d’analyse de solutions du Problème 3

La figure 7 illustre le raisonnement spatial de la dyade no 14. Les deux élèves ont indiqué : « Pour compter le nombre de faces, d’arêtes et de sommets, il est plus facile de dessiner le cube tronqué (question c) avant ». Ainsi, ces élèves ont fait intervenir concomitamment les connaissances spatiales (représenter en perspective cavalière le cube tronqué), la visualisation interne (agencement des arêtes, des faces et des sommets) et la visualisation directe (à partir de la représentation 2D élaborée) pour dénombrer faces, arêtes et sommets.

5. Discussion et conclusion

Les résultats mettent en évidence plusieurs constats majeurs. D’abord, la visualisation spatiale (externe et interne), combinée à certaines connaissances spatiales — notamment la représentation en perspective cavalière — et à des connaissances géométriques, joue un rôle clé dans la réussite en géométrie de l’espace. Dans la résolution d’un problème de géométrie de l’espace où le raisonnement déductif (processus de preuve) est impliqué, la visualisation spatiale (surtout interne) agit synergiquement avec une connaissance géométrique que nous nommons « savoir faire le passage du repérage des plans perpendiculaires et des angles entre deux plans, au repérage des droites perpendiculaires et des angles entre deux droites incluses dans ces plans ».

Par ailleurs, la déconstruction dimensionnelle des formes (Duval, 2005 ; Mithalal, 2010) et le raisonnement relationnel inférentiel basé sur les propriétés (Battista et al., 2019) contribuent à mieux comprendre les interactions entre ces différents types de connaissances. La visualisation interne apparaît également liée à la capacité de structurer l’espace et de mener à bien le processus d’encodage/décodage d’éléments spatiaux clés dessinés dans la représentation 2D. Les habiletés spatiales (visualisation et transformations spatiales) remplissent un rôle heuristique important lorsqu’elles fonctionnent en interaction avec le discours déductif pour élaborer une démonstration.

L’analyse rétrospective de la séquence montre que les ajustements apportés aux problèmes permettent de faire évoluer ceux-ci de la géométrie naturelle (GI) vers une géométrie axiomatique naturelle (GII), suggérant que la séquence « améliorée » favorise un travail efficace de la géométrie dans l’espace au secondaire.