Le problème de la boîte

Je suis tombé sur ce problème il y a quelques années et j’ai été rapidement fasciné par sa richesse mathématique. Quelle réponse votre intuition vous souffle-t-elle actuellement ? Avant de poursuivre votre lecture, je vous invite fortement à tenter de trouver la réponse au problème par vous-mêmes. Je décortiquerai d’abord le problème comme s’il n’y avait que deux ou trois figurines pour mieux saisir les calculs et les probabilités impliquées pour chaque boîte de céréales. Puis, la réponse au problème initial et des explications supplémentaires seront apportées.

Deux figurines

Avant d’attaquer le problème à six figurines, commençons avec seulement deux figurines : un lion et un éléphant.

On reprend donc le même problème de départ en changeant le 6 pour un 2 :

Une compagnie de boîtes de céréales ajoute dans chacune de ses boîtes une figurine d’un animal. La compagnie choisit au hasard parmi un ensemble de deux figurines différentes : un lion et un éléphant.

Combien de boîtes doit-on acheter, en moyenne, pour amasser toute la collection ?

1. Lorsque nous achetons la première boîte, on est certain à 100 % d’obtenir une figurine que nous ne possédons pas encore.La probabilité est donc de \(\frac{2}{2}\) (deux figurines à obtenir parmi un choix de deux figurines dans la boîte).Le nombre de boîtes nécessaires en moyenne pour trouver cette première figurine est : \(\frac{2}{2}=1\) boîte.
2. Maintenant que nous possédons une figurine (peu importe laquelle), il en reste une dans la collection à trouver. La probabilité que la prochaine boîte contienne une nouvelle figurine est de 1 sur 2.La probabilité est donc de \(\frac{1}{2}\) (une figurine à trouver parmi un choix de deux figurines dans la boîte).Le nombre de boîtes nécessaires en moyenne pour trouver cette deuxième figurine est : \(\frac{2}{1}=2\) boîtes.

On inverse la probabilité : plus la probabilité de trouver les figurines restantes est petite, plus il faudra acheter de boîtes (en moyenne).

Il ne reste plus qu’à additionner le nombre de boîtes de chacune des étapes pour savoir combien de boîtes nous devons acheter en moyenne pour obtenir les deux figurines. La réponse sera donc de \(1+2=3\) boîtes.

On devra donc acheter en moyenne trois boîtes pour obtenir toutes les figurines de la collection.

Avec seulement deux figurines, c’est facile de le simuler avec de vraies boîtes qu’on sélectionne au hasard parmi un lot de boîtes qui contiennent l’une ou l’autre des figurines. Si vous comptabilisez le nombre de boîtes nécessaires en moyenne pour amasser la collection des deux figurines, vous obtiendrez autour de trois boîtes.

On peut aussi représenter la situation par un arbre (figure 1). Les crochets verts représentent les combinaisons de boîtes qui font en sorte d’amasser toutes les figurines de la collection. On se rappelle ici qu’il s’agit du scénario à deux figurines.

Si on achète seulement deux boîtes, voici les combinaisons de figurines possibles :

Avec deux boîtes, on a donc 2 chances sur 4 ou 50 % de chance d’avoir toute la collection. Avec trois boîtes, on aura 6 chances sur 8 ou 75 % de chance d’avoir toute la collection.

C’est la quantité de boîtes nécessaires pour dépasser 50 % de probabilité d’amasser l’ensemble des figurines. On a donc plus de chances d’obtenir toute la collection à partir de la troisième boîte. Lorsque j’ai commencé à analyser ce problème, je pensais que les deux stratégies présentées s’équivalaient. Mais en allant challenger mon raisonnement avec un robot conversationnel, j’ai pu comprendre que je mélangeais deux concepts : la moyenne des boîtes à acheter pour avoir toute la collection (l’espérance mathématique) et le seuil de 50 % ou la quantité de boîtes à partir de laquelle j’ai plus de chances d’avoir toute la collection. J’ai appris un nouveau concept statistique appelé l’asymétrie (ou la longue traîne). J’y reviendrai un peu plus loin.

Continuons notre simulation avec la stratégie du diagramme en arbres. Avec quatre boîtes, on aura 14 chances sur 16 ou 87,5 % de chance d’avoir toute la collection. Nous avons tout de même 12,5 % des chances de ne pas récolter les deux figurines après quatre boîtes.

Voici la suite des probabilités d’amasser toute la collection en fonction du nombre de boîtes achetées :

• Cinq boîtes : \(\frac{30}{32}\), ou 93,75 %
• Six boîtes : \(\frac{62}{64}\), ou 96,88 %
• Sept boîtes : \(\frac{126}{128}\), ou 98,44 %
• Huit boîtes : \(\frac{254}{256}\), ou 99,22 %
• Neuf boîtes : \(\frac{510}{512}\), ou 99,61 %
• etc.

En classe, il serait intéressant de demander à vos élèves combien de boîtes seront nécessaires, selon eux, pour obtenir une probabilité de 100 %. Par la suite, on peut leur demander de nous expliquer pourquoi on ne pourra jamais atteindre 100 %. En examinant les graphiques précédents, on constate qu’il y aura toujours deux issues possibles : soit on obtient uniquement la figurine A, soit on obtient uniquement la figurine B. Par conséquent, le numérateur de la probabilité sera toujours égal au dénominateur diminué de deux. Ce serait aussi intéressant de modéliser à l’aide d’une fonction la probabilité selon le nombre de boîtes achetées.

Trois figurines

Poursuivons maintenant avec trois figurines. On reprend encore une fois le problème initial en changeant le 6 pour un 3 :

Une compagnie de boîtes de céréales ajoute dans chacune de ses boîtes une figurine d’un animal. La compagnie choisit au hasard parmi un ensemble de trois figurines différentes : un lion, un éléphant et une girafe.

Combien de boîtes doit-on acheter, en moyenne, pour amasser toute la collection ?

Si nous achetons seulement une ou deux boîtes, nous ne pourrons évidemment pas avoir toute la collection ! C’est trivial !

Si on achète trois boîtes, voici l’arbre des combinaisons possibles :

Avec trois boîtes, nous aurons 6 chances sur 27 ou 22,22 % de chance d’avoir toute la collection. On est nettement sous la barre des 50 %.

La stratégie du diagramme en arbre devient ici plus lourde compte tenu du nombre exponentiel de combinaisons qui s’ajoutent à chaque achat de boîte ! Je me limiterai donc à vous présenter la suite des probabilités sans les diagrammes :

• Quatre boîtes : \(\frac{36}{81}\), ou 44,44 %
• Cinq boîtes : \(\frac{150}{243}\), ou 61,73 %
• Six boîtes : \(\frac{540}{729}\), ou 74,07 %
• Sept boîtes : \(\frac{1806}{2187}\), ou 82,53 %
• Huit boîtes : \(\frac{5796}{6561}\), ou 88,34 %
• Neuf boîtes : \(\frac{18150}{19683}\), ou 92,21 %
• etc.

À partir de cinq boîtes, on a donc plus de 50 % de chance d’avoir toute la collection.

Reprenons la logique utilisée dès le départ, mais avec trois figurines pour trouver le nombre de boîtes à acheter en moyenne pour obtenir toute la collection :

1. Pour la première figurine, lorsque nous achetons la première boîte, on est certain à 100 % d’obtenir une figurine que nous ne possédons pas encore.La probabilité est donc de \(\frac{3}{3}\) (trois figurines à obtenir parmi un choix de trois figurines dans la boîte).Le nombre de boîtes nécessaires en moyenne pour trouver cette première figurine est : \(\frac{3}{3}=1\) boîte.
2. Maintenant que nous possédons une figurine (peu importe laquelle), il en reste deux dans la collection à trouver. La probabilité que la prochaine boîte contienne une nouvelle figurine est de 2 sur 3.La probabilité est donc de \(\frac{2}{3}\) (deux figurines à trouver parmi un choix de trois figurines dans la boîte).Le nombre de boîtes nécessaires en moyenne pour trouver cette deuxième figurine est : \(\frac{3}{2}=1,5\) boîte.
3. Maintenant que nous possédons deux figurines (peu importe lesquelles), il en reste une dans la collection à trouver. La probabilité que la prochaine boîte contienne une nouvelle figurine est de 1 sur 3.La probabilité est donc de \(\frac{1}{3}\) (une figurine à trouver parmi un choix de trois figurines dans la boîte).Le nombre de boîtes nécessaires en moyenne pour trouver cette troisième figurine est : \(\frac{3}{1}=3\) boîtes.

Il ne reste plus qu’à additionner le nombre de boîtes de chacune des étapes pour savoir combien de boîtes nous devons acheter en moyenne pour obtenir les trois figurines. La réponse sera donc de \(1 + 1,5 + 3 = 5,5\) boîtes.

On peut donc s’attendre à avoir de bonnes chances d’obtenir toute la collection en achetant cinq ou six boîtes, puisque 5,5 est entre les deux. C’est cohérent avec la probabilité trouvée avec l’autre stratégie ; c’est à partir de cinq boîtes qu’on dépasse les 50 % de chance d’avoir une combinaison qui inclut trois figurines différentes.

Si on revient au concept d’asymétrie, c’est contre-intuitif pour moi de penser qu’à partir de cinq boîtes, on a presque 62 % de chance d’avoir toute la collection, mais que cela prend en moyenne 5,5 boîtes pour avoir toute la collection. La moyenne de 5,5 tient compte du fait que les meilleurs scénarios (trois figurines dans trois, quatre ou cinq boîtes) sont limités, alors que les pires scénarios sont illimités !

Même si ces scénarios de grande malchance (avoir besoin de 15 boîtes) sont rares, leurs valeurs numériques peuvent être très élevées. Lorsqu’on calcule la moyenne globale de tous les scénarios, ces cas extrêmes tirent la moyenne vers le haut.

Pour quatre figurines, on obtiendra comme moyenne environ 8,33 boîtes et pour cinq figurines environ 11,42 boîtes.

\[\frac{4}{4}+\frac{4}{3}+\frac{4}{2}+\frac{4}{1}\approx 1+1,33+2+4\approx 8,33\]

\[\frac{5}{5}+\frac{5}{4}+\frac{5}{3}+\frac{5}{2}+\frac{5}{1}\approx 1+1,25+1,67+2,5+5\approx 11,42\]

Six figurines

Revenons à notre problème initial à six figurines. En appliquant le même raisonnement qu’avec deux ou trois figurines, on obtient ce résultat :

\[\frac{6}{6}+\frac{6}{5}+\frac{6}{4}+\frac{6}{3}+\frac{6}{2}+\frac{6}{1}=1+1,2+1,5+2+3+6=14,7\]

C’est la solution à notre problème initial : 14,7 boîtes !

Ça prend donc 14,7 boîtes en moyenne pour obtenir toute la collection des six figurines. On peut être plus chanceux ou moins chanceux, mais 14,7 correspond à la moyenne (à l’espérance mathématique !).

Pourtant, à partir de 13 boîtes achetées, on a plus de 50 % des chances de posséder toute la collection des six figurines, soit environ 51,39 %. Pourquoi cela prend-il alors presque 15 boîtes en moyenne pour amasser toute la collection ? La réponse se trouve dans l’asymétrie de la distribution des résultats.

Le concept d’asymétrie (ou de la longue traîne)

Avant d’aller dans l’asymétrie, commençons par prendre un exemple où la distribution est symétrique. Prenons la taille des adultes au Québec. Si on prenait un échantillon de plusieurs milliers d’adultes québécois et qu’on les classait par taille pour construire un graphique, on obtiendrait une belle cloche, soit une loi normale (ou une courbe de Gauss).

Cette courbe serait pratiquement symétrique, puisqu’il y a à peu près le même nombre de personnes très grandes que de personnes très petites. La médiane des tailles est alors confondue avec la moyenne au point le plus haut de la cloche. D’autres distributions forment une courbe normale symétrique, comme les résultats à un test de Q.I. ou la taille des feuilles d’un arbre.

Cependant, dans le cas de notre collection de figurines, la distribution ne sera pas parfaitement symétrique ; elle sera étirée vers la droite. Pour six figurines, la majorité des gens amasseront toute la collection en achetant entre 10 et 20 boîtes. Il y a une limite à gauche dans la distribution, puisqu’un minimum de six boîtes est requis pour amasser six figurines différentes. Cependant, il n’y a pas de limite vers la droite. Certaines personnes seront si malchanceuses qu’elles auront besoin d’acheter 80, 100 ou 200 boîtes pour finalement compléter leur collection. Ce sont ces personnes malchanceuses qui créent la longue traîne fine et donc l’asymétrie (vers la droite) dans la courbe, comme on peut l’observer sur la figure 5.

Donc, la médiane de 13 boîtes divise la population en deux groupes de taille égale : la moitié des gens aura terminé sa collection avec 13 boîtes, tandis que l’autre moitié en aura besoin de plus (peu importe le nombre supplémentaire nécessaire). Cette médiane est donc plus petite que la moyenne (14,7 boîtes), qui est tirée vers le haut par les personnes les plus malchanceuses.

Un exercice très intéressant à faire serait de demander à vos élèves d’aller situer le mode, la médiane et la moyenne sur cette courbe étirée vers la droite.

Dix figurines

Même si le problème initial s’attardait à six figurines, j’étais curieux de pousser l’exercice un peu plus loin.

Il faudra acheter en moyenne 29,3 boîtes pour amasser la collection complète des dix figurines. À partir de 27 boîtes (la médiane), on a plus de 50 % des chances d’avoir les dix figurines. Mais ceux qui seront les plus malchanceux viendront faire augmenter le nombre de boîtes en moyenne qu’il faut se procurer pour amasser toute la collection.

Une mine d’or pour la classe

Le problème de la boîte de céréales est bien plus qu’une simple énigme. C’est un formidable contexte pour travailler toutes sortes de concepts et stratégies avec vos élèves : le mode, la médiane, la moyenne, l’espérance mathématique, le diagramme en arbre, etc. Vous pouvez carrément reproduire le problème et le faire vivre à vos élèves en leur faisant choisir des boîtes de céréales au hasard.

Vous pourrez réfléchir à des variantes ou des prolongements : augmenter ou diminuer le nombre d’objets à collectionner, avoir des objets en plus grande quantité que d’autres dans les boîtes, avoir un objet très rare, etc.

Vous pourriez également réfléchir avec vos élèves à d’autres contextes, comme les cartes à collectionner, que ce soit des cartes de sports professionnels ou de Pokémon, par exemple.

Il serait aussi intéressant de trouver d’autres contextes réels où il peut y avoir une asymétrie dans la distribution des données. Je vois notamment une belle occasion pour parler de revenu médian et de revenu moyen avec les élèves.

J’ai créé un simulateur en ligne pour ce problème (figure 7). Il a été fortement inspiré de “The Cereal Box Problem : A Lesson in Expected Value by Quin Baetz and George Reese”. C’est d’ailleurs sur ce site web que j’étais tombé en 2020 et qui m’a poussé à réfléchir à ce problème fascinant ! Ce simulateur pourra vous être utile si vous exploitez ce problème en classe.

En espérant que ce problème saura susciter chez vous et chez vos élèves le même enthousiasme et la même curiosité qu’il a suscités chez moi.