S’il y a un théorème mathématique connu du grand public, c’est bien celui de Pythagore. Plusieurs l’utilisent au quotidien, parfois même sans le savoir. Bien sûr, mon objectif n’est pas de remettre en question l’enseignement de ce théorème célèbre ni son utilité. Je souhaite simplement vous partager comment j’ai abordé sa présentation auprès de mes élèves cette année, et comment j’ai assisté à l’émergence d’une compréhension entièrement nouvelle.

En les regardant travailler, je me suis écrié « Eurêka ! » dans mon for intérieur. Par le passé, ce n’était pas tant que mes élèves trouvaient la notion difficile, mais je sentais que le théorème restait pour eux une simple « recette » algébrique qu’ils appliquaient de façon mécanique, sans trop savoir pourquoi. Sans oublier, pour certains d’entre eux, les différentes erreurs de manipulation algébrique.

Le lancement : de la manipulation au tableau

Dans le but de rendre le concept plus explicite, j’ai choisi de décortiquer finement la notion et de la présenter à la manière de la classe collabo-réflexive.

J’ai commencé par rassembler les élèves autour du tableau pour un bref échange d’idées qui n’a pas duré plus de cinq minutes. J’ai demandé au groupe de trouver trois objets courants (règle, rapporteur d’angle, cahier, calculatrice, gomme à effacer, etc.). Avec l’aide de trois volontaires, nous avons modélisé un ou deux triangles en tenant ces objets directement contre le tableau. Je leur ai ensuite annoncé que c’était à leur tour de créer des triangles à partir de matériel que j’allais leur fournir.

J’ai alors formé des équipes de trois de manière aléatoire et visible. Au moment de venir récupérer leur chiffon de nettoyage, un membre de chaque équipe prenait une pochette contenant plusieurs carrés de couleurs et de dimensions différentes, imprimés et découpés au préalable (vous trouverez le fichier de ces carrés en cliquant [ici]).

Étape 1 : L’exploration et la conjecture

Puisque les élèves manipulaient du matériel en carton qui ne colle pas aux tableaux verticaux, ils se sont installés sur les tables à proximité ou sur le rebord des fenêtres. Engagées dans cette tâche accessible à tous, certaines équipes ont rapidement rassemblé les carrés de même couleur pour former trois triangles rectangles (en joignant les sommets des carrés). Toutefois, ils avaient l’obligation de faire une esquisse de « leurs créations » sur leur surface verticale non permanente, en inscrivant les aires à l’intérieur des carrés (figure 1).

En circulant, je leur ai demandé ce qu’ils observaient. Sans surprise, ils ont remarqué qu’il s’agissait chaque fois de triangles rectangles. À ce moment, deux options s’offraient à moi :

Option 1

Porter leur attention sur l’aire des carrés qui bordent le triangle et leur demander s’ils remarquent un lien numérique. Pour accélérer le processus, je peux les guider vers les aires, car avec des valeurs variées, il n’est pas toujours évident de voir immédiatement que la somme des aires des deux plus petits carrés est égale à l’aire du grand. Si la relation est révélée, je leur demande s’il est possible de construire d’autres triangles en mélangeant les couleurs (figure 2). Dans ce cas, certains triangles ne seront pas rectangles. C’est l’occasion de leur demander de trouver le seul cas où le triangle est rectangle. Certains exploreront l’aspect numérique tandis que d’autres procéderont par essais et erreurs. Je leur demande alors de vérifier la relation, même pour les triangles qui ne sont pas rectangles, pour constater que la relation ne tient plus.

Option 2 (si le lien ne saute pas aux yeux)

Leur demander s’il est possible de construire des triangles en mélangeant les couleurs. Par essais et erreurs, ils créent différents triangles, dont certains ne sont pas rectangles. En repassant les voir, je leur demande : « Est-il encore possible d’obtenir un triangle rectangle ? » Cela permet de revenir, de manière plus guidée, sur la relation unique qui unit les aires des carrés lorsque le triangle possède un angle droit.

Pour les équipes où les grands nombres du matériel freinent la découverte de la relation \(A_1 + A_2 = A_3\) où \(A_i\) représente l’aire des carrés sur les côtés du triangle, je dessine sur leur tableau un exemple épuré avec des valeurs simples (figure 3).

Une fois la relation découverte par l’équipe, et pour m’assurer que tout le monde est au même niveau, je propose un maximum de quatre exemples de « Type 1 ». Comme vous pouvez le voir dans les exemples suivants (figure 4), les élèves doivent simplement trouver l’aire du carré manquant.

Puisque la relation vient d’être mise au jour et que les calculs sont simples, le travail se fait très rapidement. Je leur demande alors d’écrire explicitement leurs démarches au tableau, ce qui permet de ralentir le rythme et de s’assurer que chaque membre du groupe saisit bien le concept.

Étape 2 : Du calcul d’aires au calcul de côtés

Pour les exemples de « Type 2 », nous passons à la recherche d’un côté manquant (figure 5). Votre œil aguerri remarquera que, dans ces problèmes, on cherche d’abord uniquement l’hypoténuse. Le premier exemple est d’ailleurs amusant : plusieurs élèves (pour ne pas dire tous) ont le réflexe d’écrire 17 comme mesure du côté (en additionnant bêtement 5+12). Je passe alors les voir en leur rappelant : « Ce sont les côtés du triangle qui mesurent 5 et 12, pas des aires de carrés ! » Certains enseignants m’ont fait le commentaire que certaines équipes bloquaient lorsqu’elles arrivent à ce type d’exemple. Pour faciliter la tâche aux élèves, ils ont introduit le type 2 en retirant seulement un des carrés ou deux carrés sur les trois. C’est une très bonne suggestion de stratégie. Je vous crois qu’il faut y aller selon vos élèves et selon le temps qu’il vous reste. Vous les connaissez et vous pouvez l’adapter dans l’action, si vous voyez de la résistance, ou planifier d’avance pour faciliter la tâche des élèves.

Par ailleurs, vous remarquerez que pour les deux premiers triangles de ce type, je n’ai pas modifié l’orientation de la figure afin de laisser le temps aux élèves de se « stabiliser » dans ce nouveau contexte. Le troisième triangle est simplement une symétrie verticale, les suivants ont subi une rotation, et le tout dernier amène une réponse non entière pour amener le questionnement. Pour ralentir certaines équipes, je leur demande s’ils sont certains de leur réponse.

Voici maintenant un exemple de solution où un élève dessine ses carrés sur les côtés du triangle rectangle (figure 6). Il cherche d’abord l’aire des carrés des cathètes qu’il connaît. Ensuite, pour trouver l’aire du carré sur l’hypoténuse, il les additionne selon la relation découverte précédemment. Finalement, il devient naturel pour lui d’extraire la racine carrée pour trouver la mesure du carré dont il connaît l’aire. À mon avis, il s’agit de la manifestation d’une compréhension conceptuelle et non d’une procédure mécanique.

Le « Type 3 » introduit ensuite la recherche d’une cathète (figure 7). Les élèves doivent alors soustraire l’aire du carré de la cathète connue de celle du plus grand carré, situé sur l’hypoténuse, pour trouver l’aire manquante, puis en extraire la racine carrée.

Étape 3 : La clôture de l’activité

S’il y a une étape cruciale, c’est bien la clôture de l’activité. En raison de son importance, vous devez y consacrer un tiers du temps, soit environ 20 minutes. Car, même après avoir vu les élèves faire des liens, comprendre et pratiquer le théorème de Pythagore par eux-mêmes, ces idées risquent de disparaître avant le prochain cours si elles ne sont pas consolidées. Pour s’assurer que ce temps d’activité porte ses fruits, je vous invite à ramener le groupe d’élèves au tableau, comme en début de période. Je vous propose deux façons de procéder et, peu importe votre choix, remarquez que les questions commencent à partir du plus simple de l’activité, le fondement du concept.

1. L’enseignant agit en tant que scribe

Présenter trois exemples (Type 1, Type 2 et Type 3) et leur demander par lequel ils commenceraient et pourquoi. Laissez-leur une minute d’échange avec leur voisin. Ensuite, faites ressortir le fruit de leur discussion en posant des questions au groupe : Par lequel doit-on commencer ? Pourquoi ? Ensuite, quel est le second ? Pourquoi ? Et pourquoi garder celui-là en dernier ?

2. La discussion

Poser des questions progressives telles que : Qu’avez-vous fait avec les carrés ? Quel type de triangle a-t-il fallu former ? Était-ce toujours des triangles rectangles ? Qu’avez-vous remarqué sur les aires ? Si je vous présente un triangle avec des mesures de cathètes, comment faites-vous pour trouver la mesure manquante ? Qu’est-ce qu’il y a de pareil et de différent lorsque c’est l’hypoténuse qui manque ou une cathète ?

Une fois la discussion terminée, demandez aux élèves de retourner à leur tableau en équipe pour créer leurs propres notes sur Pythagore selon le modèle suivant (figure 8) :

• En haut à gauche : Le premier exemple avec les carrés (un exemple à trous qui rappelle le théorème). Vous pouvez laisser des lignes pour écrire l’énoncé textuel.
• En haut à droite : Un exemple modèle qu’ils doivent résoudre.
• En bas à droite : Un exemple de leur choix qu’ils doivent inventer et résoudre.
• En bas à gauche : Des notes à eux-mêmes (les pièges à éviter, les éléments à ne pas oublier).

Pour compléter la clôture de l’activité, il est toujours pertinent d’avoir sous la main des questions de validation de la compréhension. Récemment, je me suis amusé à utiliser l’intelligence artificielle pour générer des banques de questions spécifiques à chacun des trois types présentés, tout à fait à l’image de notre tâche de manipulation. L’année prochaine, je prévois d’offrir cette option aux élèves qui en ressentent le besoin avant de les lancer dans des problèmes de transfert plus complexes. Ainsi, les équipes qui n’ont pas eu le temps de se rendre aux défis du troisième type, ou celles qui manquent un peu de confiance pourront valider leurs apprentissages à leur propre rythme. Je vous partage d’ailleurs, l’intégralité de ma discussion avec Gemini pour vous montrer comment orchestrer le tout. Vous pourrez même poursuivre cette conversation avec l’IA pour l’adapter à votre goût et enrichir vos propres séquences de questions !

Conclusion

Auparavant, pour prouver ce théorème, je montrais à mes élèves la fameuse vidéo où l’on voit de l’eau circuler d’un grand carré vers deux plus petits. Bien qu’ils comprenaient la démonstration visuelle, elle ne « collait » pas à leur esprit à long terme. Cette année, grâce à leur propre manipulation, l’ancrage a été immédiat.

Lors des exercices et des évaluations, j’ai vu des élèves qui ont habituellement d’importantes difficultés avec l’algèbre dessiner spontanément des carrés sur les côtés des triangles, y inscrire les aires, faire l’addition ou la soustraction appropriée, puis appliquer la racine carrée. Trouver la mesure du côté était devenu un processus totalement naturel pour eux.

À mon avis, cette approche favorise une compréhension conceptuelle qui prend racine plus profondément qu’auparavant. J’ai vu les élèves réinvestir l’image des carrés pour se démêler dans leurs démarches. Éventuellement, certains ont d’eux-mêmes délaissé le dessin pour passer directement au formalisme algébrique. Je suis convaincu que cette image mentale restera gravée en eux pour plusieurs années.

Une chose est certaine : après avoir vu mes élèves s’activer, verbaliser et comprendre si profondément ce fameux théorème, je sais que je n’enseignerai plus jamais Pythagore de la même manière !

Proposition d’extension à la tâche

Il serait intéressant de demander ensuite aux élèves quelle est la condition pour obtenir des triangles acutangles, des triangles obtusangles et qu’est-ce qui fait qu’il y a des triangles impossibles à créer avec ces carrés. Cela peut aussi faire un lien avec la loi des cosinus. Différents exemples de combinaisons selon les différents cas sont dans l’activité [ici] avec les triangles à imprimer et découper.