Revue l'Envol • Défis Opti-Math

Solutions aux situations

Opti-Math 1988 2^e étape
Situation 10: Deux familles de trois enfants

Une famille est constituée de Francis et Annie ainsi que de leurs enfants Marleyne, Natacha et Luc.

Une autre famille est constituée de Simon et Véronique ainsi que de leurs enfants Olivier, Raynald et Pascal.

Opti-Math 2016
Situation 5 – Un cadeau bien mérité

1. Le code qui permettra d’ouvrir la boîte est :
2. Le nouveau code qui permettra d’ouvrir cette seconde boîte est :

Opti-Math + 2007
Situation 5 – L’inspection conique

Si l’on abaisse la plate-forme, le niveau d’huile devrait augmenter.
La question est de savoir où exactement ces deux niveaux se rencontreront.
Le problème revient en fait à savoir de quelle hauteur s’élèvera le niveau d’huile si on y insère complètement le cône.

En comparant les volumes, on a :

\[
\frac{\pi r^2 h_{\text{cône}}}{3}
=
\pi r^2 h_{\text{cylindre}}
\]

D’où :

\[
h_{\text{cylindre}}
=
\frac{h_{\text{cône}}}{3}
\]

Ainsi, puisque le cône mesure 3 mètres de haut, son volume équivaut à celui d’un cylindre de 1 mètre de haut.

On conclut donc qu’on devra arrêter la plate-forme 1 mètre au-dessus du niveau initial de l’huile.

On peut descendre la plate-forme jusqu’à une profondeur de 89 mètres.

Opti-Math + 2017
Situation 11 – Intersection de secteurs

Solution (Opti-Math 2017 — situation 11 — Intersection de secteurs)

a) Par observation, on déduit :

\[
\text{Aire du carré}
=
2 \times \text{Aire d’un secteur de } 90^\circ
–
\text{Aire de l’intersection}
\]

\[
\text{Aire du carré}
=
\text{Aire d’un demi-cercle}
–
\text{Aire de l’intersection}
\]

\[
\text{Aire de l’intersection}
=
\text{Aire du demi-cercle}
–
\text{Aire du carré}
\]

\[
A_{\text{zone grise}}
=
\frac{\pi(1\,\text{cm})^2}{2}
–
1\,\text{cm}^2
=
\left(\frac{\pi}{2}-1\right)\text{cm}^2
=
\frac{\pi-2}{2}\,\text{cm}^2
\approx
0{,}5707\ldots\,\text{cm}^2
\]

Réponse : L’aire de la zone grise est de 0,57 cm².

1) On trouve $m\overline{GE}$ :

Considérons le triangle rectangle BFE dont l’hypoténuse mesure
1 cm (rayon du cercle) et sa cathète $\overline{FE}$ mesure
0,5 cm. On en déduit que la mesure de l’angle EFB est de
$30^\circ$ et on obtient la longueur de la cathète
$\overline{BF}$ par Pythagore.

\[
m\overline{BF}
=
\sqrt{1^2-0{,}5^2}\,\text{cm}
=
\sqrt{0{,}75}\,\text{cm}
\approx
0{,}8660\,\text{cm}
\]

\[
m\overline{AF}
=
m\overline{GE}
\approx
0{,}1339\,\text{cm}
\]

2) On calcule l’aire du triangle AED :

\[
\text{Aire du triangle } AED
=
\frac{1\,\text{cm}\times0{,}1339\ldots\,\text{cm}}{2}
\approx
0{,}0669\ldots\,\text{cm}^2
\]

3) On calcule l’aire du triangle ABE :

\[
\text{Aire du triangle } ABE
=
\frac{1\,\text{cm}\times0{,}5\,\text{cm}}{2}
=
0{,}25\,\text{cm}^2
\]

4) On calcule l’aire du secteur ABE :

\[
\frac{30^\circ}{360^\circ}
=
\frac{\text{Aire du secteur } ABE}{\pi\,\text{cm}^2}
\]

\[
\text{Aire du secteur } ABE
=
\frac{\pi}{12}\,\text{cm}^2
\approx
0{,}2617\ldots\,\text{cm}^2
\]

5) On calcule l’aire de la zone grise :

Posons $x$, l’aire de la mince zone bornée par le segment
AE et l’arc de cercle AE.

\[
x
=
\text{Aire du secteur } ABE
–
\text{Aire du triangle } ABE
\]

\[
x
\approx
0{,}2617\ldots\,\text{cm}^2
–
0{,}25\,\text{cm}^2
\approx
0{,}0117\ldots\,\text{cm}^2
\]

Finalement, l’aire de la zone grise correspond à :

\[
A_{\text{zone grise}}
=
\text{Aire du triangle } AED
–
2x
\]

\[
A_{\text{zone grise}}
\approx
0{,}0669\ldots\,\text{cm}^2
–
2\times0{,}0117\ldots\,\text{cm}^2
\approx
0{,}0433\ldots\,\text{cm}^2
\]

Réponse : L’aire de la zone grise est de 0,04 cm².

Vos prix
d’excellence

300$

Prix Richard Pallascio

Prix 2023 : Bravo à Bénédicte Ferragne-Simard, Achraf Hajby, Fouzia Jetto, Anne-Marie Lagueux et Loula Abdourahim pour leur contribution à la revue Envol avec leur article L’apprentissage des maths PAR la résolution de problème. Ils remportent le prix Richard Pallascio et la bourse de 300 $.

Description : Prix pour les auteurs de la revue.

Modalités : Un jury nommé par le conseil d’administration du GRMS déterminera l’article primé et fera connaître son choix lors de la session de perfectionnement du GRMS.

Critères d’admissibilité

Article original selon le jugement du jury;
Ne pas être membre du conseil d’administration du GRMS;
Avoir publié un article original dans la revue Envol avant le 30 juin.

Il doit s’agir d’un article n’ayant pas été puisé à une autre source, ou simplement traduit. Il peut cependant s’agir d’un article basé sur un écrit d’une autre source à la condition que cette source soit citée et qu’un apport original et personnel de l’auteur soit jugé pertinent par le jury.

Montant accordé : 300 $

Note : Si l’article est présenté par une équipe, le montant du prix sera partagé entre les membres de l’équipe.

Prix Emma-Castelnuovo

Prix 2023 :

Bravo à nos lauréats 2023 :

Vicky Nadeau – UdeS
Camille Lefebvre – ULaval
Alexandre Alie – UQAM
Florence Lavallée – UQTR
Chloé Bénard – UQAR
Anne-Marie Auclair – UQAC
Rosalie Bédard – UQO
Jonathan Morcos – UdeM

Description : Prix remis à neuf diplômés (es) (une personne par université participante) dans le programme d’enseignement des mathématiques au secondaire.

Critères d’admissibilité: Être bachelier dans le programme d’enseignement des mathématiques au secondaire dans une des neuf universités participantes.

Ce prix est conjointement offert par le Groupe des responsables en mathé- matique au secondaire (GRMS) et l’Association mathématique du Québec (AMQ). En accord avec les neuf universités québécoises francophones, ce prix sera remis à l’étudiant(e) diplômé(e) qui se démarque le plus de sa cohorte dans chacune des universités participantes.

Les universités sont : Université de Sherbrooke, Université de Montréal, Université Laval, Université du Québec à Trois-Rivières, Université du Québec à Montréal, Université du Québec en Outaouais, Université
du Québec à Chicoutimi, Université du Québec à Rimouski et Université du Québec en Abitibi-Témiscamingue.

Le prix : Une médaille d’honneur ainsi qu’une adhésion à l’association (GRMS) seront remises aux titulaires de ce prix.

Participez
c'est pour vous!!

Prix FERMAT

300$

Prix 2023 : Bravo à Jean-François Blanchet pour sa contri- bution exceptionnelle à l’avancement de la mathématique qui se mérite le prix Claude Janvier et la bourse de 500 $.

Vous désirez souligner le travail d’un de vos pairs ?

Description : Prix d’excellence Claude Janvier remis annuellement à un enseignant(e) s’étant démarqué(e) dans son milieu par son dynamisme, son leadership, son innovation, la qualité de son enseignement ou son rayonnement.

Critères d’admissibilité: La candidate ou le candidat doit :

être membre en règle du GRMS;
ne pas être membre du conseil d’administration du GRMS;
avoir œuvré dans le domaine de l’enseignement de la mathématique au secondaire.

Montant accordé :

Maximum de 300$ peuvent être accordé selon l’étendue du projet;
Il est possible que plusieurs projets différents soient retenus et que le prix soit remis à plusieurs récipiendaires au prorata des projets présentés.

Attribution du prix : Le conseil d’administration du GRMS se réunira une fois l’an en juin pour attribuer le prix à la personne méritante. Vous désirez souligner le travail d’un de vos pairs ? Envoyez aux membres du conseil d’administration une brève description expliquant votre recommandation à l’adresse secretariat@grms.qc.ca.

Formule
simplifiée

Prix Claude
Janvier

500$

Prix 2023 : Bravo à Marika Perrault pour avoir oser faire des maths en plein air et qui se mérite le prix Fermat et une somme de 300$.

Vous avez besoin d’ $ $ $ pour un projet ?
Vos budgets sont coupés ? on peut vous aider !

Description : Prix pour le meilleur scénario d’enseignement (1er cycle ou 2e cycle du secondaire)

Critères d’admissibilité

être membre en règle du GRMS ;
ne pas être membre du conseil d’administration du GRMS ;
avoir une bonne idée pour la réalisation d’un projet,
mais ne pas avoir le soutien financier pour le réaliser ;
brève description du projet et de la clientèle visée ;
permettre la publication du projet dans la revue Envol.

Montant accordé :

Maximum de 300$ peuvent être accordé selon l’étendue du projet;
Il est possible que plusieurs projets différents soient retenus et que le prix soit remis à plusieurs récipiendaires au prorata des projets présentés.

Note : Si le projet est présenté par une équipe, le montant du prix sera partagé entre les membres de l’équipe.

Attribution du prix : Le conseil d’administration du GRMS se
réunira une fois l’an en juin pour attribuer le prix à la ou les personnes méritantes. Vous désirez présenter votre projet ? Envoyez aux membres du conseil d’administration une brève description de celui-ci à l’adresse secretariat@grms.qc.ca.

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Mot de la Directrice

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