L’efficacité de Desmos

Introduction

Cet article se veut un complément de l’article « Comment pimper vos documents de travail ? » écrit pour la revue 187. Dans ce dernier, j’abordais la mise en page avec Word. N’hésitez pas à le consulter pour intégrer vos graphiques plus efficacement dans vos documents de travail. J’écris cet article en me remémorant mes premiers moments avec la découverte de ce grapheur vers 2015, peut-être avant… Un de mes bons collègues et amis, Frédéric Ouellet, a écrit un premier article sur ce puissant outil : Desmos. Vous pouvez le lire dans la revue 165, Printemps-Été 2015 (figure 1). Plusieurs fonctionnalités sont encore d’actualité.

Pour la suite de l’article, vous devez comprendre que Desmos est un traceur de courbe et non pas un outil de géométrie dynamique comme Geogebra. Les deux outils ont chacun leurs avantages, selon l’usage que l’on veut en faire. Pour bien comprendre l’utilisation de cet outil, je vous propose de l’ouvrir dès maintenant au www.desmos.com/calculator. Je vais prendre la peine de faire un bon tour de cet outil afin que vous puissiez l’utiliser adéquatement. Une vidéo explicative présente, en moins de 15 minutes, le contenu du présent article.

Les premiers pas…

Commençons par les menus dans la barre du haut (figure 2). Prenez le temps de vous créer un compte pour sauvegarder TOUS vos graphiques. Vous sauverez un temps précieux plutôt que de recommencer à l’infini votre travail. Je sais de quoi je parle lors de mes débuts…

• Le fichier de gauche regroupera tous les graphiques sauvegardés.
• Modifier le titre « Graphique sans titre » pour retrouver facilement vos graphiques. Ne faites pas comme moi : Graphique 1, Graphique 2, etc. Quand on est rendu à une vingtaine, cela ne veut plus rien dire…
• Le bouton « Partager ce graphique » permet d’exporter l’image pour l’intégrer dans un document Word. J’y reviendrai.
• Le petit globe terrestre, à droite, permet de modifier la langue selon vos préférences.
• Le bouton « clé anglaise » permet de faire quelques petits ajustements de départ. Dans ce menu, vous pourrez modifier plusieurs paramètres.

En guise d’exemple, reproduisez ce que je vous propose (figure 3) et voyez en direct les améliorations proposées. On fait disparaître la grille, on affiche les flèches des axes et on nomme les différents axes.

➜	On passera de ceci à ceci.

Une autre fonctionnalité à connaître : le clavier en bas à gauche . Vous y trouverez la valeur absolue, les accolades et la racine carrée. Plusieurs de ces fonctionnalités sont aussi accessibles par le clavier de votre ordinateur. Voici quelques exemples :

• accolades : « alt gr » + « accent de grave » ou la touche « < ».
• signe \(\leq\) : taper < et =

Le premier avantage

La règle d’une fonction du premier degré constitue un très bon exemple du fait que l’utilisation de cet outil facilite notre travail (figure 4). Dans la colonne de gauche, tapez l’expression \(f(x)=ax+b\) et cliquez sur le bouton . Des curseurs « a » et « b » seront disponibles instantanément. Il est possible d’établir rapidement les bornes et le pas de graduation de ces curseurs en cliquant sur le nombre 10. Notez que, par défaut, le pas de graduation est 0,1. Quel est l’avantage de ces curseurs ? Il est possible de générer rapidement une infinité de fonctions selon nos besoins. De plus, le bouton « play » permet d’animer la fonction créée tout en décidant du rythme d’animation voulu. Le paramètre « a » devient vivant.

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L’utilisation de la notation fonctionnelle permet d’afficher des points sur cette droite sans les calculer (figure 5).

• Dans la ligne 4, tapez les coordonnées \((0,f(0))\), dans la ligne 5, les coordonnées \((3,f(3))\) et finalement \((5,f(5))\) dans la ligne 6 ;
• Cochez la case Étiquette : les coordonnées s’affichent sur le plan cartésien ;
• Si vous cliquez sur la souris en maintenant le bouton gauche, un menu s’affiche. On peut modifier la couleur des points, le type de point, la grosseur de celui-ci et même décider l’endroit où on veut qu’il soit affiché. On peut aussi mettre le texte avec un certain angle de rotation.

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Bougez maintenant les curseurs et examinez le résultat sur le graphique. Les coordonnées des points changent toutes seules ! Que faire si l’un des points « disparaît » du graphique ? On peut jouer avec le zoom. Les boutons à droite du graphique permettent de zoomer les deux axes en même temps. Mais si on va sur l’axe des abscisses et qu’on appuie sur « shift », il est possible de modifier rapidement et simplement le pas de graduation de chaque axe.

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Il est également possible de définir le domaine de la fonction que l’on veut afficher. Par exemple, en troisième secondaire, les contextes sont souvent dans des situations réelles, donc pour un intervalle supérieur ou égal à zéro. Il suffit d’écrire dans le menu de gauche : \[ f(x)=2x+30 \, \{x\geq0\} \] Il serait même possible de définir un domaine de 3 à 8 en écrivant : \[ \{3\leq x\leq8\} \] Cette fonctionnalité est très intéressante.

Les points mobiles

Dans Desmos, il est également possible d’insérer des points mobiles en écrivant \((x_1,y_1)\), \((x_2,y_2)\) ou encore \((x_1,f(x_1))\) et \((x_2,f(x_2))\). De cette façon, la confection de nos examens ou de nos corrigés s’en trouve extrêmement simplifiée. Voici deux exemples possibles que vous pourriez vous amuser à reproduire (figure 7).

OU

Copier un graphique dans Word

Voici comment copier rapidement et efficacement un graphique dans Word. Cliquez sur l’icône en haut à droite et choisissez « Exportez l’image » (figure 8).

L’image se retrouvera dans le dossier téléchargements de votre ordinateur. Il reste maintenant à l’insérer dans votre document Word. Vous pouvez vous référer à mon précédent article pour connaître la procédure. N’hésitez pas à jouer avec la taille et l’épaisseur de la ligne pour avoir un graphique à votre goût. La fonction « rogner » de Word vous permettra également de recadrer adéquatement votre graphique.

Les points d’intersection

Dans nos programmes, il n’est pas rare que l’on demande aux élèves les coordonnées d’un point d’intersection. Que ce soit avec deux droites, avec une droite et les axes de graduation ou encore une fonction du deuxième degré et les zéros. Voici donc un petit raccourci que j’ai découvert dernièrement pour, encore une fois, sauver du temps. Comme mon collègue me l’a dit, cela a changé ma vie… Si je veux afficher rapidement les points d’intersection avec les axes ou deux fonctions, il suffit de cliquer sur les points qui sont en gris et sélectionner le bouton . Les coordonnées du point s’affichent automatiquement dans la barre de gauche. Il reste à faire afficher l’étiquette.

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Différentes utilités des étiquettes de points

Voici des fonctionnalités particulièrement intéressantes et incontournables en quatrième secondaire pour les droites parallèles et perpendiculaires. Je veux tracer une droite dont la règle est : \[ y=\frac{2}{3}x+30 \] et une droite perpendiculaire à celle-ci, dont les coordonnées du point d’intersection sont entières (figure 10).

Voici la procédure pour le faire :

1. Tapez la règle de la première droite :\[ f(x)=\frac{2}{3}x+30 \]
2. Tapez \((24,f(24))\)* et sélectionnez l’option « Étiquette » pour que les coordonnées du point d’intersection s’affichent sur le graphique ; *En choisissant un multiple de 6 comme abscisse, on s’assure que les coordonnées seront entières et Desmos se charge de calculer l’ordonnée pour nous.
3. Tapez la règle de la droite perpendiculaire** qui passe par ce point d’intersection :\[ g(x)=-\frac{3}{2}x+82 \]**Vous pourriez aussi taper la règle suivante si vous ne voulez pas vous donner la peine de faire de calcul pour l’ordonnée à l’origine :\[ g(x)=-\frac{3}{2}(x-24)+f(24) \]
4. Si cela est nécessaire, jouez avec votre zoom pour voir votre graphique à l’écran ;
5. Tapez les coordonnées d’un point (par exemple \((8,g(8))\)) qui appartient à la deuxième règle \(g(x)\) et sélectionnez à nouveau l’option « Étiquette » pour l’afficher sur le graphique ;
6. Pour faire afficher la règle de \(f(x)\) sur cette droite :
   • Affichez le point \((50,f(50))\) ;
   • Dans l’espace « Étiquette », en LaTeX, tapez l’expression : `y = \frac{2}{3}x + 30`
   L’équation de cette droite sera affichée sur le graphique.

Rappel : Pour améliorer l’esthétique, vous pourriez la placer avec un certain angle de rotation et/ou choisir où la placer autour du point (figure 11).

7. Finalisez la mise en page de votre graphique (si vous n’êtes pas daltonien) : mettez en rouge tout ce qui touche l’équation \(f(x)\), en bleu tout ce qui touche l’équation \(g(x)\) et le point d’intersection en noir, pour la correction ;
8. Il vous restera à l’intégrer dans une question de votre choix.

Une fonction périodique

Voici maintenant comment faire assez rapidement un graphique à ligne brisée ou encore une fonction périodique. En appuyant sur le bouton « + » en haut à gauche, le menu suivant apparaît :

	« remarque » : permet de mettre des notes manuscrites dans le menu de gauche.
	« tableau » : permet d’insérer une table de valeurs dont les points s’afficheront dans le graphique.
	« dossier » : permet de regrouper des fonctions dans un dossier pour mieux organiser notre travail. Cela est très pratique lorsqu’un travail a une cinquantaine de fonctions.
	« image » : permet d’insérer une image en arrière-plan pour ensuite mettre des fonctions par-dessus. Par exemple, le plan d’un quartier sur lequel on représenterait les rues par des droites.

Pour la fonction périodique (figure 12), on va donc mettre un tableau. Par la suite, cliquez sur le bouton à gauche de \(y_1\) et modifiez les différentes options pour bien comprendre les différentes possibilités qui s’offrent à vous.

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• En cliquant sur le bouton , l’option « dupliquer » sera possible ;
• Dupliquez la table de valeurs deux fois (figure 13).
• Modifiez la colonne \(x_1\) par \(x_1+12\) pour la deuxième table de valeurs et par \(x_1+24\) pour la troisième table de valeurs.
• Modifiez la couleur de la deuxième et de la troisième table de valeurs. Vous venez de faire une fonction périodique.

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La régression

Dernièrement, un collègue m’a montré comment la régression de plusieurs fonctions est maintenant très efficace avec Desmos (figure 14). Il suffit de mettre une table de valeurs, comme précédemment. Ensuite, on peut cliquer sur le bouton à gauche et sélectionner la régression que l’on désire. J’ai été sidéré de voir la rapidité avec laquelle on peut faire cette opération.

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Représenter un polygone de contraintes

Une des choses que j’apprécie beaucoup de Desmos est la simplicité qu’il offre pour représenter un polygone de contraintes en cinquième secondaire. Par exemple, si on veut représenter le polygone formé des inéquations : \[ y\geq3x \] \[ 2x+4y\leq28 \] \[ y\geq3 \] voici comment procéder (figure 15) :

• Tapez \(y=3x\), \(2x+4y=28\) et \(y=3\) dans les trois premières lignes ;
• Tapez \(y\geq3x\{2x+4y\leq28\}\{y\geq3\}\) dans la quatrième ligne.

Le polygone est maintenant complet. On peut également ajouter les coordonnées des sommets très rapidement.

Mais on ne réinvente pas la roue pour rien…

Voici certains graphiques que j’utilise régulièrement dans mon travail qui ne sont pas nécessairement de moi, mais extrêmement utiles pour sauver du temps. Une petite astuce : ouvrez le lien et copiez le graphique pour le sauvegarder dans VOS graphiques…

• □ Graphique partie entière : https://www.desmos.com/calculator/9nzu1rt20p
• □ Fonction du 2^e degré sous la forme factorisée : https://www.desmos.com/calculator/bd323cf033
• □ Fonction du premier degré : https://www.desmos.com/calculator/ztimvjbkeb

Ma conclusion

J’aurais pu vous présenter encore de nombreux avantages de ce formidable outil, mais je vous laisse le plaisir de les découvrir. Je souhaite vraiment vous avoir permis de découvrir (ou redécouvrir) cet outil convivial. Un petit truc pour voir si cela est possible : posez la question sur un moteur de recherche et vous trouverez sûrement une réponse à votre question. En espérant que ce tour d’horizon vous aura appris au moins un petit quelque chose de nouveau. Si vous désirez me faire part d’une de vos découvertes, je suis toujours preneur de nouvelles idées. N’hésitez pas à m’écrire via mon courriel ou encore à m’interpeller lors de notre congrès.